📌 m+n을 최대로 만들면서 거듭제곱근 식이 자연수가 되는 조건을 동시에 만족해야 합니다!
이 문제는 2019년 10월 고3 학평 나형 8번으로 출제된 수능 대비 TOUGH 기출입니다. m ≤ 135, n ≤ 9 범위에서 ⁿ√(2m) × √(n²) 또는 √(2m) × ⁿ√(n³) 형태의 식이 자연수가 되는 조건을 소인수 지수로 분석하고, 그 중 m+n이 최대가 되는 순서쌍을 찾는 유형입니다. 정답은 ⑤ 117입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 41번 · TOUGH · 2019.10 고3학평 나형 8번)
m ≤ 135, n ≤ 9인 두 자연수 m, n에 대하여
√(2m) × √(n³) (또는 ⁿ√(2m) × √(n³))
의 값이 자연수일 때, m+n의 최댓값은?
① 97 ② 102 ③ 107 ④ 112 ⑤ 117
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약
식을 소인수 지수로 정리한 뒤, 전체가 자연수가 되려면
모든 소인수의 지수가 정수이고 음이 아니어야 합니다.
m을 소인수분해 m = 2^α × (기타)로 표현하여 n의 각 값(1~9)별로 조건을 분석합니다.
n = 1 ~ 9 각각에 대해 자연수 조건을 만족하는 m의 최댓값을 구하고,
m + n이 가장 큰 경우를 찾습니다.
m ≤ 135 제약 안에서 각 n별 허용 m의 최댓값을 표로 정리합니다.
조건을 만족하는 최적 순서쌍 (m, n)에서
m + n의 최댓값 = 117
※ 정확한 m, n 값과 상세 전개는 해설 이미지·영상에서 확인하세요.
∴ m+n의 최댓값 = ⑤ 117
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① m+n을 최대로 만들기 위해 m만 최대화하고 n의 값이 자연수 조건에 영향을 준다는 사실을 간과하는 경우.
n이 바뀌면 m의 허용 범위도 달라집니다.
실수 ② n의 모든 값(1~9)을 빠짐없이 확인하지 않고 n이 큰 경우만 시도하는 경우.
때로는 작은 n에서 m이 더 크게 허용되어 m+n이 더 커질 수 있습니다.
실수 ③ m ≤ 135 조건을 놓쳐 135를 초과하는 m을 정답으로 채택하는 경우.
💡 꿀팁 – “최댓값” 탐색 문제 전략
① n을 9부터 1까지 내려가며 각 n에서 조건을 만족하는 최대 m을 구한다.
② m + n이 최대인 순서쌍이 처음 발견되면 그 이전 n까지도 확인하여 비교한다.
③ 특히 n = 완전제곱수·완전세제곱수인 경우 m의 허용 범위가 더 넓으므로 우선 확인한다.
이 순서로 탐색하면 범위를 넘어선 실수를 방지하고 효율적으로 최댓값을 찾을 수 있습니다.