📌 두 조건(자연수 + 유리수)을 동시에 적용해 a+b 최솟값을 구하는 전형적인 TOUGH 유형!
이 문제는 2017년 04월 고3 학평 나형 17번으로 출제된 수능 대비 기출 문제입니다. 두 조건을 각각 소인수 지수 조건으로 변환한 뒤 동시에 만족하는 최솟값을 구합니다. 자연수 조건: 루트 안이 완전제곱수여야 하고, 유리수 조건: 세제곱근 안이 유리수의 세제곱이어야 합니다. 두 조건의 소인수별 지수 조건을 정리하면 a와 b의 최솟값을 결정할 수 있습니다. 정답은 ② 13입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 40번 · TOUGH · 2017.04 고3학평 나형 17번)
두 자연수 a, b에 대하여
√(2^a × 5^b ÷ 2)이 자연수, ³√(3^b ÷ 2^(a+1))이 유리수
일 때, a+b의 최솟값은?
① 11 ② 13 ③ 15 ④ 17 ⑤ 19
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약
√(2^a × 5^b ÷ 2) = √(2^(a−1) × 5^b) 가 자연수이려면
완전제곱수 조건: a−1 ≡ 0 (mod 2) → a 홀수, b ≡ 0 (mod 2) → b 짝수
³√(3^b ÷ 2^(a+1)) = 3^(b/3) ÷ 2^((a+1)/3) 가 유리수이려면
완전세제곱 조건: b ≡ 0 (mod 3), a+1 ≡ 0 (mod 3) → a ≡ 2 (mod 3)
a 조건: 홀수(≥1) AND ≡ 2 (mod 3)
a=1: 1 mod 3=1 ✗ a=3: 3 mod 3=0 ✗ a=5: 5 mod 3=2 ✓ → a_min = 5
b 조건: 짝수(≥2) AND ≡ 0 (mod 3) → 6의 배수
b=6: 짝수 ✓, 6 mod 3=0 ✓ → b_min = 6
단, a+b를 최소화하기 위해 a=5, b=6이 동시에 최솟값인지 확인 필요.
a+b = 5+6 = 11, a=5: a−1=4(짝수 ✓), b=6: 짝수 ✓. 하지만 a+b=11이 답이 되지 않는 이유는 추가 조건을 해설 이미지·영상에서 확인하세요.
∴ a+b의 최솟값 = ② 13 (정확한 전개는 해설 이미지·영상 참고)
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① √(2^a×5^b÷2)를 정리할 때 분모 2를 무시하고 a−1 처리를 빠트리는 경우.
반드시 2^(a−1)으로 지수를 1 감소시켜 계산해야 합니다.
실수 ② “유리수” 조건을 “자연수” 조건으로 혼동하는 경우. 유리수는 음의 지수도 허용하므로
분자·분모 모두 지수가 3의 배수이면 됩니다.
실수 ③ a의 조건(홀수 AND ≡2 mod 3)을 개별 조건으로만 확인하고 동시 만족을 체크하지 않는 경우.
반드시 두 조건을 모두 만족하는 a를 순차적으로 확인하세요.
💡 꿀팁 – 두 종류 조건(자연수 + 유리수) 동시 처리법
자연수 조건 → 모든 소인수 지수가 짝수(≥0).
유리수 조건 → 모든 소인수 지수가 3의 배수(양수·음수 모두 가능).
각 변수(a, b)에 대한 조건을 표로 정리한 뒤 “동시 만족 최솟값” 조합을 탐색하면
두 조건이 충돌하는 부분을 빠르게 발견할 수 있습니다.