📌 두 조건 (가)(나)를 동시에 만족하는 자연수 m을 빠짐없이 찾으려면?
이 문제는 2025년 06월 고2 학평 27번으로 출제된 최신 기출 TOUGH 유형입니다. 조건 (가)에서 m과 n 사이의 관계식을 유도하고, 조건 (나)에서 3m/n이 자연수가 되도록 n의 값 범위를 좁혀야 합니다. √m = 2·⁴√n 관계를 제곱하면 m = 4√n이고, m이 자연수가 되려면 n이 완전제곱수여야 한다는 것이 핵심 출발점입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 39번 · TOUGH · 2025.06 고2학평 27번)
다음 조건을 만족시키는 두 자연수 m, n에 대하여 모든 m의 값의 합을 구하시오.
(가) m의 양의 제곱근은 n의 양의 네제곱근의 2배이다.
(나) 3m/n은 자연수이다.
※ 정답 및 정확한 풀이는 아래 해설 이미지·영상에서 확인하세요.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약
√m = 2·⁴√n → 양변 제곱 → m = 4·√n
m이 자연수이려면 √n ∈ ℕ → n이 완전제곱수.
n = k² (k ∈ ℕ)로 놓으면 m = 4k.
3m/n = 3(4k)/k² = 12/k 가 자연수이어야 함.
→ k | 12
k의 약수 (자연수): k = 1, 2, 3, 4, 6, 12
k = 1 → m = 4 | k = 2 → m = 8 | k = 3 → m = 12
k = 4 → m = 16 | k = 6 → m = 24 | k = 12 → m = 48
모든 m의 합 = 4 + 8 + 12 + 16 + 24 + 48 = 112
∴ 모든 m의 값의 합 = 112
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① 조건 (가)에서 √m = 2·⁴√n을 제곱할 때 m = 4n^(1/2)이 아닌 m = 4n으로 잘못 처리하는 경우.
⁴√n을 제곱하면 n^(1/2) = √n임에 주의하세요.
실수 ② n이 완전제곱수임을 도출하지 못하고 n을 임의의 자연수로 취급하는 경우.
m = 4√n에서 m이 자연수이려면 √n이 자연수여야 합니다.
실수 ③ 12의 약수를 빠트리거나 중복 나열하는 경우. 12의 양의 약수는 1,2,3,4,6,12입니다.
💡 꿀팁 – 조건 2개 동시 처리 전략
이 유형은 ① 조건 (가)에서 변수 치환(n=k²)으로 m을 k의 함수로 표현하고,
② 조건 (나)를 k의 배수/약수 조건으로 변환하는 2단계로 처리합니다.
핵심은 처음부터 m을 단일 파라미터 k로 통일하는 것입니다.
그러면 두 조건을 동시에 만족하는 경우를 중복 없이 열거할 수 있습니다.