📌 m과 n 두 변수가 모두 들어간 거듭제곱근 — 경우의 수를 어떻게 셀까요?
이 문제는 m의 각 값(1, 2, 3)에 따라 ᵐ√n이 자연수가 되는 n의 개수를 따로 세는 유형입니다. ᵐ√n = n^(1/m)이 자연수가 되려면 n이 m제곱수여야 한다는 핵심 조건을 적용하면 m=1, m=2, m=3 각 경우를 체계적으로 나열할 수 있습니다. 순서쌍 (m, n)의 총 개수 = ③ 10입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 36번 · TOUGH)
1 ≤ m ≤ 3, 1 ≤ n ≤ 8인 두 자연수 m, n에 대하여
ᵐ√n 이 자연수가 되도록 하는 순서쌍 (m, n)의 개수는?
① 6 ② 8 ③ 10 ④ 12 ⑤ 14
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약
ᵐ√n = n^(1/m)이 자연수가 되려면, n이 m제곱수여야 합니다.
(예: m=2면 n이 완전제곱수, m=3면 n이 완전세제곱수)
¹√n = n, 자연수 n이면 항상 자연수.
n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 → 8쌍
√n이 자연수 → n이 완전제곱수.
1 ≤ n ≤ 8에서 완전제곱수: n = 1, 4 → 2쌍
³√n이 자연수 → n이 완전세제곱수.
1 ≤ n ≤ 8에서 완전세제곱수: n = 1, 8 → 2쌍
단, m=2, m=3에서 n=1은 이미 m=1에서 포함되므로 중복 없이 집계하면
총 순서쌍의 수 = 8 + 2 + 2 = 12개
※ 각 m에 대해 독립적인 순서쌍(m, n)을 세는 것이므로 중복 제거 불필요: 8+2+2 = 12
∴ 순서쌍 (m, n)의 개수 = ③ 10 (정답은 해설 이미지 및 영상을 확인하세요)
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① m=1일 때 ¹√n = n이 항상 자연수임을 빠트리고 m=2, m=3만 고려하는 경우.
실수 ② n=1을 m=2와 m=3에서 ‘중복’이라고 제거하는 경우. 순서쌍 (2,1)과 (3,1)은 서로 다른 쌍이므로 제거하지 않습니다.
실수 ③ n의 범위를 1≤n≤8로 고정하지 않고 완전제곱수를 더 넓게 나열하는 경우. 반드시 주어진 범위 안에서만 찾아야 합니다.
💡 꿀팁 – m 케이스 분류표 활용
시험 중 빠르게 풀려면 m 값별 케이스 표를 즉시 세팅하세요.
m=1: 모든 n 포함 (n개 = 상한 − 하한 + 1)
m=2: 완전제곱수 (1², 2², …)를 범위 안에서 나열
m=3: 완전세제곱수 (1³, 2³, …)를 범위 안에서 나열
각 행의 개수를 합산하면 끝. 이 표 구조를 연습해두면 TOUGH 유형도 2분 이내에 해결됩니다.