📌 √(n/3)과 ³√(n/2) 두 조건을 동시에 만족하는 최솟값, 어떻게 찾을까요?
이 문제는 두 거듭제곱근이 동시에 자연수가 되는 조건을 소인수분해로 분석하는 최다빈출 유형입니다. √(n/3) ∈ ℕ과 ³√(n/2) ∈ ℕ 조건을 각각 소인수 지수 조건으로 바꾼 뒤, 두 조건을 동시에 만족하는 가장 작은 n을 LCM 개념으로 구하면 됩니다. 이 유형은 내신·수능 모두에서 반복 출제되는 핵심 유형입니다. 정답은 432입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 35번 · 최다빈출 왕중요 · 내신연계문제)
자연수 n에 대하여
√(n/3), ³√(n/2)
이 모두 자연수가 되도록 자연수 n의 최솟값을 구하시오.
정답: 432
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약
n = 2^a × 3^b × … 로 놓으면 n/3 = 2^a × 3^(b−1) × …
완전제곱수가 되려면 모든 소인수의 지수가 짝수여야 합니다.
→ a는 짝수, b−1은 짝수 → b는 홀수
n/2 = 2^(a−1) × 3^b × … 가 완전세제곱수가 되려면 모든 지수가 3의 배수여야 합니다.
→ a−1 ≡ 0 (mod 3) → a ≡ 1 (mod 3), b ≡ 0 (mod 3)
a: 짝수 AND ≡ 1 (mod 3) → 최솟값 a = 4 (4는 짝수이고 4 mod 3 = 1 ✓)
b: 홀수 AND ≡ 0 (mod 3) → 최솟값 b = 3 (3은 홀수이고 3 mod 3 = 0 ✓)
n = 2⁴ × 3³ = 16 × 27 = 432
검증: √(432/3) = √144 = 12 ✓ ³√(432/2) = ³√216 = 6 ✓
∴ 자연수 n의 최솟값 = 432
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① 두 조건을 따로 구한 뒤 단순히 LCM만 취하는 경우. 소인수별로 지수 조건을 따로 결합해야 합니다.
실수 ② a ≡ 1 (mod 3)과 a가 짝수를 동시에 만족하는 최솟값을 a=2로 착각하는 경우. 2는 짝수이지만 2 mod 3 = 2 ≠ 1이므로 틀립니다.
실수 ③ n/3, n/2의 지수를 정리할 때 분자에 있는 소인수 지수를 1씩 빼는 것을 빠트리는 경우. 나누기 3은 b를 1 감소시키고, 나누기 2는 a를 1 감소시킵니다.
💡 꿀팁 – “동시 자연수” 문제 3단계 전략
① n을 소인수분해 n = 2^a × 3^b × … 로 표현한다.
② 각 조건(√ 또는 ³√)에서 소인수 지수에 요구되는 조건(짝수/3의 배수)을 리스트업한다.
③ 각 소인수별로 두 조건을 동시에 만족하는 최솟값을 찾아 곱한다.
이 3단계를 익히면 두 조건뿐 아니라 세 조건 동시 충족 문제도 바로 풀 수 있습니다.