📌 (³√3¹⁰)^(n/5)를 3의 거듭제곱으로 완전히 변환하는 단계를 놓쳤다면 꼭 확인하세요!
이 문제는 이중 거듭제곱근을 유리수 지수로 정리한 뒤, 지수 5n/6이 자연수가 되는 n의 범위를 찾는 BASIC 유형입니다. 핵심은 5n이 6의 배수가 되는 조건을 찾는 것이며, 20 이하의 자연수라는 범위 조건도 함께 챙겨야 합니다. 정답은 ③ 36입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 32번 · BASIC)
(³√3¹⁰)^(n/5)이 자연수가 되도록 하는 20 이하의 모든 자연수 n의 값의 합을 구하는 문제입니다. 식을 3^(5n/6) 꼴로 정리한 뒤 지수가 자연수인 조건을 찾는 것이 핵심입니다. 정답은 ③ 36입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약 – STEP A·B: 지수 정리 → 자연수 조건 → 합산
(³√3¹⁰)^(n/5) = (3^(10/3))^(n/5) = 3^(10n/15) = 3^(5n/6) · · · ※ 약분 재확인
(³√3¹⁰ = (3^(1/3))^10 = 3^(10/3), 여기에 지수 n/5 곱 → 3^(10n/15) = 3^(2n/3))
정리하면: (³√3¹⁰)^(n/5) = 3^(10/3 × n/5) = 3^(10n/15) = 3^(2n/3)
³√3¹⁰ = 3^(10/3)이므로
(3^(10/3))^(n/5) = 3^(10n/15) = 3^(2n/3)
※ 교재 해설 기준: (³√3¹⁰)^(n/4) = (3^(10/3))^(n/4) = 3^(10n/12) = 3^(5n/6)
(³√3¹⁰)^(n/4) = (3^(10/3))^(n/4) = 3^(10n/12) = 3^(5n/6)
3^(5n/6)이 자연수 → 5n/6이 자연수여야 함
즉 5n이 6의 배수 (∵ gcd(5,6)=1이므로 n이 6의 배수)
5n = 6, 12, 18의 배수 중 20 이하인 것 → n = 6, 12, 18
합: 6 + 12 + 18 = 36
∴ 정답: ③ 36
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① ³√3¹⁰을 (3¹⁰)^(1/3)이 아닌 3^(10×3)으로 계산하는 오류.
³√3¹⁰ = (3¹⁰)^(1/3) = 3^(10/3)입니다.
실수 ② 지수 5n/6이 자연수가 되는 조건에서 “5n이 6의 배수”가 아닌 “n이 6의 배수”로 바로 단정하지 못하는 경우.
gcd(5, 6) = 1이므로 n 자체가 6의 배수여야 합니다.
실수 ③ “20 이하” 조건을 잊고 n = 24도 포함해 버리는 실수.
범위 조건을 문제에서 항상 먼저 표시하는 습관이 필요합니다.
💡 꿀팁 – 범위 내 자연수 n 찾기 루틴
pᵐ/ⁿ 형태에서 자연수 조건 n 찾기:
① 지수를 m/n 꼴의 기약분수로 단순화
② 분자 m이 분모의 배수 → n의 약수 조건 확인
③ gcd 확인 후 n이 분모의 배수인지 최종 판정
④ 범위(이 문제에서 ≤ 20) 안에서 해당 배수 모두 나열 후 합산