📌 “정수 n”이라는 조건을 놓쳐서 양의 약수만 썼다면 꼭 확인하세요!
이 문제는 (1/64)^(−1/n)을 2의 거듭제곱으로 변환한 뒤, 지수 6/n이 자연수가 되도록 하는 양의 약수를 모두 찾는 학교기출 대표유형입니다. 핵심 함정은 “모든 정수 n” 조건이므로 양의 약수뿐 아니라 음의 정수를 포함하면 안 되고, n = 0도 제외해야 합니다. (1/64)를 먼저 64 = 2⁶으로 정리하면 빠르게 풀립니다. 정답은 12입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 31번 · 학교기출 대표유형 · 주관식)
(1/64)^(−1/n)이 자연수가 되도록 하는 모든 정수 n의 값의 합을 구하는 문제입니다. 밑을 2의 거듭제곱으로 바꾸고, 결과의 지수가 자연수가 되는 n의 조건을 따지는 것이 핵심입니다. 정답은 12입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약 – STEP A: 밑 변환 후 자연수 조건 파악
(1/64)^(−1/n) = 64^(1/n) = (2⁶)^(1/n) = 2^(6/n)
2^(6/n)이 자연수가 되려면 6/n이 자연수여야 합니다.
즉, n은 6의 양의 약수: n = 1, 2, 3, 6
n이 음수이면 6/n은 음의 분수 → 2^(음의 분수) ≠ 자연수
n = 0은 분모 불가 → 제외
따라서 정수 n = 1, 2, 3, 6
합: 1 + 2 + 3 + 6 = 12
∴ 모든 정수 n의 합 = 12
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① “정수 n”을 “자연수 n”으로 잘못 읽어 음의 정수를 검토하지 않는 경우.
하지만 이 문제에서는 음의 정수 n이면 6/n < 0이 되어 2^(6/n)은 자연수가 될 수 없으므로
결국 양의 약수만 해당됩니다. 조건 검토를 반드시 하는 습관이 중요합니다.
실수 ② 64를 2⁶이 아닌 2⁷ 또는 4³으로 변환하는 계산 실수.
64 = 2⁶임을 암기하세요.
실수 ③ n = 0을 포함해서 계산하는 오류. 분모가 0인 n = 0은 반드시 제외해야 합니다.
💡 꿀팁 – “자연수가 되는 n” 유형 빠른 전략
aᵐ/ⁿ이 자연수가 되는 n 찾기:
① 밑 a를 소수의 거듭제곱으로 변환 (a = pᵏ)
② 결과 지수 = kp/n 꼴로 정리
③ kp/n이 양의 정수 → n은 kp의 양의 약수 목록 탐색
④ 문제가 “정수”인지 “자연수”인지 확인 후, 음수 n의 가능성도 체크
이 4단계가 자동으로 되면 이 파트 문제를 모두 빠르게 풀 수 있습니다.