📌 분수 꼴 이중 거듭제곱근에서 지수 빼기를 놓쳤다면 꼭 확인하세요!
이 문제는 분수 꼴 이중 거듭제곱근을 유리수 지수로 변환하고 방정식을 세우는 최다빈출 왕중요·주관식 문제입니다. 분수 내부에서 지수를 뺄셈한 뒤 바깥 거듭제곱근의 지수를 곱하는 2단계 처리가 핵심이며, 우변 ¹⁸√(1/a) = a^(−1/18)로의 변환도 놓치면 안 됩니다. 정답은 k = 9입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 30번 · 최다빈출 왕중요 · NORMAL · 주관식)
a > 1일 때, ³√(⁴√a / ³√a) × √(ᵏ√a / ⁶√a) = ¹⁸√(1/a) 을 만족시키는 자연수 k의 값을 구하는 주관식 문제입니다. 좌변의 두 항을 각각 지수로 변환한 뒤 합산하고, 우변 지수와 방정식을 세우는 것이 핵심입니다. 정답은 k = 9입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약 – STEP A: 분수 내 지수 빼기 → 방정식 수립
분수 지수 차이: 1/4 − 1/3 = 3/12 − 4/12 = −1/12
³√(a^(−1/12)) = (a^(−1/12))^(1/3) = a^(−1/36)
분수 지수 차이: 1/k − 1/6 = (6 − k) / 6k
√(a^((6−k)/6k)) = (a^((6−k)/6k))^(1/2) = a^((6−k)/12k)
¹⁸√(1/a) = (a^(−1))^(1/18) = a^(−1/18)
−1/36 + (6−k)/12k = −1/18
공통분모 36k로 정리: (9−2k) / 18k = −1/18
18(9−2k) = −18k → 9−2k = −k → 9 = k
∴ k = 9
정답: 9
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① 분자·분모 지수를 빼지 않고 곱해버리는 오류.
⁴√a / ³√a = a^(1/4 − 1/3)임을 잊지 마세요.
실수 ② 우변 ¹⁸√(1/a)를 a^(1/18)으로 잘못 변환하는 실수.
1/a = a^(−1)이므로 지수는 −1/18입니다.
실수 ③ 지수 방정식 통분 과정에서 분모를 틀리는 경우.
−1/36과 (6−k)/12k의 공통분모는 36k임에 주의하세요.
💡 꿀팁 – 분수 꼴 이중 근호 처리 3단계
ⁿ√(ᵃ√x / ᵇ√x) 형태가 나오면:
① 내부 분수를 x^(1/a − 1/b) 으로 변환
② 바깥 n제곱근 → 지수에 1/n 곱하기
③ 정리된 지수식으로 방정식 세우기
이 루틴을 자동화하면 주관식 문제도 충분히 손으로 풀 수 있습니다.