📌 좌변과 우변을 따로 지수로 변환하는 순서를 놓쳤다면 꼭 확인하세요!
이 문제는 등식의 양변을 각각 유리수 지수로 변환한 뒤 지수를 비교해 k를 구하는 최다빈출 유형입니다. BASIC 난이도지만 이중 근호의 처리 방식이 정확하지 않으면 틀리기 쉽습니다. 핵심은 양변의 지수를 따로 계산해서 동일하게 만드는 것이며, 정답은 ③ k = 5입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 28번 · 최다빈출 왕중요 · BASIC)
a > 0, a ≠ 1인 실수 a에 대하여 등식 √(a·³√a⁴) = ³√(a·√aᵏ) 을 만족하는 자연수 k의 값을 구하는 문제입니다. 좌변과 우변을 각각 a의 거듭제곱으로 정리한 뒤 지수를 비교하는 것이 핵심입니다. 정답은 ③ k = 5입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 핵심 풀이 요약 – 양변 따로 지수 변환 후 비교
√a · ⁶√a⁴ = a^(1/2) · a^(4/6) = a^(3/6 + 4/6) = a^(7/6)
³√a · ⁶√aᵏ = a^(1/3) · a^(k/6) = a^(2/6 + k/6) = a^((2+k)/6)
a^(7/6) = a^((2+k)/6) 이므로 7/6 = (2+k)/6
→ 7 = 2 + k → k = 5
∴ k = 5 → 정답: ③
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① 좌변 ³√a⁴에서 지수를 4/3이 아닌 4·3 = 12로 계산하는 실수.
³√a⁴ = a^(4/3)임을 반드시 확인하세요. 이후 √의 지수는 1/2이므로 a^(4/6).
실수 ② 우변 ³√(a·√aᵏ)에서 ⁶√aᵏ = a^(k/6)임을 놓치는 경우.
이중 근호의 지수는 1/3 × 1/2 = 1/6을 곱하는 것임을 기억하세요.
실수 ③ 자연수 k 조건을 무시하고 분수 k를 그대로 쓰는 경우.
이 문제에서 k = 5로 자연수가 맞는지 최종 확인하는 습관을 들이세요.
💡 꿀팁 – 등식형 지수 문제 빠른 풀이 전략
좌변 = 우변 구조에서 k를 구할 때:
① 양변을 각각 aᵐ 꼴로 완전히 변환
② a > 0, a ≠ 1 조건 아래 지수끼리 등치
③ k에 대한 1차 방정식 풀기
이 3단계 루틴만 지키면 시험장에서 실수 없이 1분 내에 풀 수 있습니다.