📌 2018 고3 학력평가 기출! 이차방정식 근과 계수의 관계 + 거듭제곱근 계산을 동시에 묻습니다.
이 문제는 이차방정식 근과 계수의 관계와 거듭제곱근 성질을 결합한 TOUGH 유형입니다. ∛81 = ∛(3⁴) = 3∛3 임을 활용해 두 근의 합·곱을 구하고, 이를 통해 나머지 근 b와 상수 a를 차례로 결정합니다. 수능·학평에서 단골로 출제되는 혼합형 문제이므로 반드시 이 풀이 흐름을 익혀두세요. 정답은 ④ 12입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 19번 · TOUGH · 2018년 03월 고3 학평 나형 14번)
x에 대한 이차방정식 x² − ∛81 ⋅ x + a = 0의 두 근이 ∛3과 b일 때, ab의 값을 구하는 문제입니다. (단, a, b는 상수) 근과 계수의 관계를 이용해 b를 먼저 구하고, 이어서 a = ∛3 × b 를 계산합니다. 정답은 ④입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
이차방정식 x² − ∛81 ⋅ x + a = 0의 두 근이 ∛3 과 b 이므로
근과 계수의 관계에 의해:
두 근의 합: ∛3 + b = ∛81
두 근의 곱: ∛3 × b = a
∛81 = ∛(3⁴) = ∛(3³ × 3) = 3∛3
→ b = 3∛3 − ∛3 = (3 − 1)∛3 = 2∛3
a = ∛3 × 2∛3 = 2 × (∛3)² = 2∛(3²) = 2∛9
ab = 2∛9 × 2∛3 = 4 × ∛(9 × 3) = 4 × ∛27 = 4 × 3 = 12
∴ ab = 12 → 정답: ④
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① ∛81을 그냥 81^(1/3)으로 두고 수치 계산하려는 경우.
∛81 = ∛(3⁴) = 3·∛3 으로 변환해야 ∛3 과 계산이 맞아 떨어집니다.
실수 ② 근과 계수의 관계에서 “두 근의 합 = −b/a” 공식을 부호 실수로 잘못 적용하는 경우.
ax²+bx+c=0 형태로 변환할 때 계수 부호를 항상 확인하세요. 여기서는 x²에서 계수가 +1이고 x항 계수가 −∛81이므로 두 근의 합 = +∛81 입니다.
실수 ③ a = 2∛9 를 구한 뒤 ab 계산에서 ∛9 × ∛3 ≠ ∛12 로 잘못 곱하는 경우.
∛9 × ∛3 = ∛27 = 3 임을 기억하세요.
💡 꿀팁 – 이차방정식 + 거듭제곱근 혼합 유형 공략법
① 계수(∛81 등)를 먼저 거듭제곱근 성질로 변환해 주어진 근(∛3)과 같은 형태로 만들기.
② 근과 계수의 관계(합, 곱)로 방정식 2개를 세우기.
③ 합 공식으로 나머지 근을 구하고, 곱 공식으로 상수항을 구하기.
④ 최종 계산은 ∛3의 거듭제곱 형태로 통일해서 ∛27 = 3 등의 정수 값으로 마무리.
이 4단계를 순서대로 적용하면 학평·수능 기출 혼합형 문제를 모두 처리할 수 있습니다.