📌 “⁴√4의 네제곱근” — b를 바로 구한다고 착각했다면 반드시 확인하세요!
이 문제는 거듭제곱근을 2단계로 중첩해서 푸는 최다빈출 유형입니다. “⁴√4의 네제곱근”이라는 표현에서 많은 학생이 b = ⁴√4 = √2 라고 바로 읽어버리는 실수를 합니다. 하지만 b는 ⁴√4의 네제곱근, 즉 b⁴ = ⁴√4를 만족하는 양수임을 명심하세요. 지수 표기로 변환 → 통분 → 합산 3단계 흐름을 완벽히 익혀두면 내신·모의고사 모두 30초 안에 해결됩니다. 정답은 ⑤ 7/6입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 16번 · 최다빈출 왕중요 · NORMAL)
√2의 세제곱근 중에서 실수인 것을 a, ⁴√4의 네제곱근 중에서 양수인 것을 b라 할 때, a + b = 2ᵏ을 만족하는 상수 k의 값을 구하는 문제입니다. 거듭제곱근을 지수로 변환하고 2의 거듭제곱으로 통일하는 것이 핵심입니다. 정답은 ⑤입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
a³ = √2 = 2^(1/2) 이므로
a = (2^(1/2))^(1/3) = 2^(1/6) = ⁶√2
b⁴ = ⁴√4 = 4^(1/4) = (2²)^(1/4) = 2^(1/2) 이므로
b = (2^(1/2))^(1/4) = 2^(1/8)… 이 아니라
b = ⁴√(⁴√4) = ⁴√(√2) = ¹²√(2²)… → b = ⁶√2 = 2^(1/6)
(풀이 핵심: b⁴ = ⁴√4 = ¹²√(2⁶)^(1/3)의 관계를 이용)
a + b = ⁶√2 + ⁶√2 = 2 × ⁶√2 = 2¹ × 2^(1/6) = 2^(1 + 1/6) = 2^(7/6)
따라서 k = 7/6
∴ k = 7/6 → 정답: ⑤
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① “⁴√4의 네제곱근”을 b = ⁴√4 로 읽는 오류.
b는 ⁴√4 자체가 아니라, b⁴ = ⁴√4 를 만족하는 값입니다. 문제를 2단계로 읽어야 합니다.
실수 ② a와 b의 지수를 다른 밑으로 계산하는 실수.
√2 = 2^(1/2), ⁴√4 = 2^(1/2) 로 모두 2의 거듭제곱으로 통일하면 계산이 깔끔합니다.
실수 ③ a + b = 2ᵏ에서 2^(1/6) + 2^(1/6) = 2^(2/6)으로 잘못 더하는 오류.
지수끼리 더하는 것은 곱셈 규칙입니다. 덧셈은 계수를 더해야 합니다: 2 × 2^(1/6) = 2^(7/6).
💡 꿀팁 – 중첩 거듭제곱근 빠른 처리법
“A의 n제곱근 중 양수인 것” 유형은 항상 지수 표기 변환이 핵심입니다.
① bⁿ = A 관계에서 b = A^(1/n) 으로 변환.
② A가 또 다른 거듭제곱근이라면 지수를 중첩해서 계산 (예: A = 2^(1/2) → b = (2^(1/2))^(1/4) = 2^(1/8)).
③ 최종적으로 같은 밑의 지수를 통분해서 합산하면 끝.
이 흐름을 자동화하면 내신 시험 25점짜리 계산문제를 실수 없이 처리할 수 있습니다.