📌 √(√27×√3)을 ⁴√81로 변환하는 게 핵심입니다. 거듭제곱근 성질 (3), (4)를 모르면 반드시 막힙니다!
이 문제는 학교기출 대표유형으로, 마플시너지 대수 13번에 수록된 거듭제곱근 성질 활용 계산 문제입니다. 겉보기엔 복잡해 보이지만 ⁿ√a × ⁿ√b = ⁿ√(ab) 성질과 √(√a) = ⁴√a 성질을 정확히 적용하면 두 항 모두 깔끔한 정수로 정리됩니다. 정답은 5입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 13번 · 학교기출 대표유형)
√(√27 × √3) + ⁵√96 ÷ ⁵√3 의 값을 구하는 문제입니다.
거듭제곱근의 성질 중 지수 합산과 중첩 근호 단순화를 동시에 적용하는 학교 기출 핵심 유형입니다.
정답은 5입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
ⁿ√a × ⁿ√b = ⁿ√(ab) 성질을 이용합니다.
√27 × √3 = √(27 × 3) = √81 = 9가 아닙니다! 여기서 바깥의 √까지 묶어야 합니다.
√(√27 × √3) = √((√27 × √3))
= √(√(27 × 3)) ← ⁿ√a × ⁿ√b = ⁿ√(ab) 적용
= √(√81)
= ⁴√81 ← √(√a) = ⁴√a 성질
= ⁴√(3⁴) = 3
ⁿ√a ÷ ⁿ√b = ⁿ√(a/b) 성질을 이용합니다.
⁵√96 ÷ ⁵√3 = ⁵√(96/3)
= ⁵√32
= ⁵√(2⁵) = 2
√(√27 × √3) + ⁵√96 ÷ ⁵√3
= ⁴√81 + ⁵√32
= 3 + 2
= 5
∴ 정답: 5
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① √(√27 × √3)을 먼저 안쪽만 계산해 √81 = 9로 치환한 뒤 √9 = 3이라고 잘못 계산하는 경우.
√(√27 × √3) = ⁴√(27×3) = ⁴√81 = 3이 맞습니다. 순서를 반드시 지키세요.
실수 ② ⁵√96 ÷ ⁵√3을 ⁵√(96÷3)으로 묶지 않고 각각 계산하려다 복잡해지는 경우.
같은 n의 n제곱근끼리는 반드시 ⁿ√(a/b)로 합쳐서 계산하세요.
실수 ③ √(√a) = ⁴√a, ∛(∛a) = ⁹√a 등 중첩 근호 변환 공식을 외우지 않아 막히는 경우.
ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐⁿ√a 공식을 반드시 암기해두세요.
💡 꿀팁 – 거듭제곱근 성질 빠른 암기법
① ⁿ√a × ⁿ√b = ⁿ√(ab) : 같은 차수끼리는 안으로 합친다.
② ⁿ√a ÷ ⁿ√b = ⁿ√(a/b) : 같은 차수끼리는 안으로 나눈다.
③ ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐⁿ√a : 중첩 근호는 지수를 곱한다.
④ (ⁿ√a)ᵐ = ⁿ√(aᵐ) : 지수는 근호 안으로 넣을 수 있다.
이 4가지만 완벽히 익혀두면 복합 계산 문제는 기계적으로 풀 수 있습니다.