📌 f(n)을 n마다 일일이 구하려다 시간을 다 날리셨나요? n의 홀짝 + 식의 부호, 두 조건을 동시에 봐야 합니다!
이 문제는 2025년 09월 고2 학력평가 14번 기출로, 마플시너지 대수 9번에 수록된 [TOUGH] 실전형 고난도 문제입니다. n²−12n+27의 n제곱근 중 음의 실수가 존재하는 조건을 정확히 파악하는 것이 핵심입니다. n의 홀짝성과 n²−12n+27의 부호를 동시에 분석하면 f(n)의 값 패턴이 또렷하게 보입니다. 정답은 ④ 9입니다.
🔢 문제 요약 (마플시너지 대수 9번 · 2025.09 고2학평 14번)
2 이상의 자연수 n에 대하여 n²−12n+27의 n제곱근 중 음의 실수인 것의 개수를 f(n)이라 할 때,
f(2)+f(3)+f(4)+···+f(19)+f(20)의 값을 구하는 문제입니다.
n의 홀짝과 이차식의 부호 판별을 동시에 적용하는 것이 핵심이며, 정답은 ④ 9입니다.
📷 풀이 해설 이미지
※ 이미지 출처: 마플시너지 대수 Solution (영랑에듀)
🎬 풀이 해설 영상
🔍 단계별 핵심 풀이 요약
n²−12n+27의 n제곱근 중 음의 실수가 존재하려면,
방정식 xⁿ = n²−12n+27의 실수 음수 근이 존재해야 합니다.
① n이 홀수이면 어떤 실수 a에도 n제곱근이 1개 존재합니다. n²−12n+27 < 0이어야 음수 근이 생깁니다.
② n이 짝수이면 a ≥ 0일 때 음의 실수근은 존재하지 않고, a < 0이면 실수근 자체가 0개입니다.
따라서 f(n) = 1이 되는 경우는 n이 홀수이고 n²−12n+27 < 0일 때뿐이며, 그 외엔 f(n) = 0입니다.
n²−12n+27 = (n−3)(n−9)
∴ n²−12n+27 < 0 ⟺ 3 < n < 9
즉 n = 4, 5, 6, 7, 8일 때 식이 음수가 됩니다.
3 < n < 9이면서 홀수인 n: n = 5, 7
이 두 경우에만 f(n) = 1이 되고, 나머지 n에서는 f(n) = 0입니다.
n이 짝수일 때 n²−12n+27 > 0이면, n제곱근 중 양의 실수 근만 2개이므로 음의 실수 근은 없어 f(n) = 0.
n이 홀수일 때 n²−12n+27 ≥ 0이면, n제곱근 중 음의 실수 근 없어 f(n) = 0.
n이 홀수일 때 n²−12n+27 < 0이면, 음의 실수 n제곱근 1개 → f(n) = 1.
f(2)+f(3)+···+f(20)
= f(5)+f(7) (나머지는 모두 0)
= 1+1 = 2 … 잠깐, 짝수 n일 때도 음의 실수근이 1개 발생하는 케이스를 재확인합니다.
n이 짝수이고 n²−12n+27 > 0이면, ±ⁿ√(양수)에서 음의 실수근 1개가 생깁니다.
n = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 중 n²−12n+27 > 0인 경우:
(n−3)(n−9) > 0 ⟺ n < 3 또는 n > 9 → n = 2, 10, 12, 14, 16, 18, 20 (7개, 각 f(n)=1)
n이 홀수이고 n²−12n+27 < 0: n = 5, 7 (2개, 각 f(n)=1)
따라서 f(2)+···+f(20) = 7+2 = 9
∴ f(2)+f(3)+···+f(19)+f(20) = 9 → 정답: ④
⚠️ 자주 나오는 실수
실수 ① n이 짝수일 때 음의 실수 n제곱근이 “없다”고 착각하는 경우.
n이 짝수이고 a > 0이면 ±ⁿ√a 두 실수근이 모두 존재하므로 음의 실수 n제곱근이 1개 생깁니다.
실수 ② n이 짝수이고 a < 0일 때 실수근이 아예 없다는 조건을 빠뜨리는 경우.
a = 0이면 근은 0 하나, a < 0이면 실수근 없음(f(n)=0)임을 반드시 구분하세요.
실수 ③ n²−12n+27 = 0인 경계값(n=3, n=9)에서 f(n)을 잘못 처리하는 경우.
n²−12n+27 = 0이면 xⁿ = 0의 유일한 실수근은 0뿐이므로 음의 실수근이 없어 f(3)=f(9)=0입니다.
💡 꿀팁 – 음의 실수 n제곱근 개수 빠른 판별표
a = n²−12n+27이라 할 때 음의 실수 n제곱근 개수:
① n 홀수, a > 0 → 양의 실수근만 1개 → 0개
② n 홀수, a = 0 → 근 = 0 → 0개
③ n 홀수, a < 0 → 음의 실수근 1개 → 1개
④ n 짝수, a > 0 → ±ⁿ√a 중 음수 1개 → 1개
⑤ n 짝수, a = 0 → 근 = 0 → 0개
⑥ n 짝수, a < 0 → 실수근 없음 → 0개
이 표를 외우면 유사 수능·학평 문제를 30초 안에 해결할 수 있습니다.