쎈 공통수학1 630번 📝 서술형 | 치환+이변수 완전제곱식으로 k 결정
서술형 난이도 ★★★★☆ 5단원 | 이차함수의 최대·최소
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 🎬 t=x²-x 치환 → t²-2ty+2y²=(t-y)²+y² 변환 풀이 영상
- 📸 출판사 공식 해설 이미지
- 🔍 핵심: \(t^2-2ty+2y^2\)을 완전제곱식 두 개의 합으로 분해하는 방법
- 💡 (y-4)² 추가 완전제곱식 분리 후 최솟값=k-16 조건으로 k 결정
- ✍️ 서술형 5단계 답안 가이드
- ⏱ 서술형 목표 풀이 시간
🌟 핵심 공식: \(t^2-2ty+2y^2=(t-y)^2+y^2\)
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🧮✨
핵심 등식: \(t^2-2ty+2y^2=(t-y)^2+y^2\)
확인: \((t-y)^2+y^2=t^2-2ty+y^2+y^2=t^2-2ty+2y^2\) ✓
핵심 등식: \(t^2-2ty+2y^2=(t-y)^2+y^2\)
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🔎 문제 핵심 파악
문제 상황 요약
실수 x, y에 대해 \((x^2-x)^2-2(x^2-x)y+2y^2-8y+k\)의 최솟값이 5일 때, 상수 k를 구합니다.
🗝️ 변환 로드맵
① t=x²-x로 치환
② \(t^2-2ty+2y^2=(t-y)^2+y^2\) 변환
③ \(-8y=(y-4)^2-16\) 변환으로 (y-4)² 분리
④ 최솟값 = k-16 = 5 → k=21
① t=x²-x로 치환
② \(t^2-2ty+2y^2=(t-y)^2+y^2\) 변환
③ \(-8y=(y-4)^2-16\) 변환으로 (y-4)² 분리
④ 최솟값 = k-16 = 5 → k=21
✍️ 서술형 답안 구조 (5단계)
① t=x²-x 치환 명시
② \(t^2-2ty+2y^2=(t-y)^2+y^2\) 변환 과정 서술
③ y²-8y=(y-4)²-16으로 변환
④ 전체: (t-y)²+(y-4)²+k-16, 최솟값=k-16
⑤ k-16=5 → k=21 결론
① t=x²-x 치환 명시
② \(t^2-2ty+2y^2=(t-y)^2+y^2\) 변환 과정 서술
③ y²-8y=(y-4)²-16으로 변환
④ 전체: (t-y)²+(y-4)²+k-16, 최솟값=k-16
⑤ k-16=5 → k=21 결론
🎬 풀이 영상
💡 풀이 힌트 (먼저 도전!)
힌트 1. t=x²-x. 그러면 식은 \(t^2-2ty+2y^2-8y+k\)
힌트 2. \(t^2-2ty+2y^2=(t-y)^2+y^2\). 직접 전개해서 확인해보세요!
힌트 3. \(y^2-8y=(y-4)^2-16\). 전체 식 = \((t-y)^2+(y-4)^2+k-16\) → 최솟값은?
🧠 핵심 풀이
1 치환
\(t=x^2-x\)로 놓으면 (t는 모든 실수 가능)
식 = \(t^2-2ty+2y^2-8y+k\)
\(t=x^2-x\)로 놓으면 (t는 모든 실수 가능)
식 = \(t^2-2ty+2y^2-8y+k\)
2 핵심 완전제곱 변환
\(t^2-2ty+2y^2=(t-y)^2+y^2\)
따라서: \((t-y)^2+y^2-8y+k\)
\(t^2-2ty+2y^2=(t-y)^2+y^2\)
따라서: \((t-y)^2+y^2-8y+k\)
3 y² – 8y 추가 변환
\(y^2-8y=(y-4)^2-16\)
전체: \((t-y)^2+(y-4)^2+k-16\)
\(y^2-8y=(y-4)^2-16\)
전체: \((t-y)^2+(y-4)^2+k-16\)
4 최솟값 조건 → k 결정
\((t-y)^2 \geq 0\), \((y-4)^2 \geq 0\)
t=y, y=4일 때 동시에 0 달성
최솟값 = \(k-16=5 \Rightarrow \boxed{k=21} \quad 🎯\)
\((t-y)^2 \geq 0\), \((y-4)^2 \geq 0\)
t=y, y=4일 때 동시에 0 달성
최솟값 = \(k-16=5 \Rightarrow \boxed{k=21} \quad 🎯\)
🔄→🧮→🎯
⚠️ 자주 틀리는 내용
❌ 가장 어려운 부분: \(t^2-2ty+2y^2=(t-y)^2+y^2\) 변환을 모르면 막힘
→ 암기 공식: \(A^2-2AB+2B^2=(A-B)^2+B^2\)
❌ 실수 2: (t-y)²와 (y-4)²가 동시에 0이 될 수 있는지 확인 필요
→ t=y (x²-x=4도 실수해 존재) + y=4 → 동시 달성 가능!
❌ 서술형 감점: 변환 과정 미서술, k-16=5 도출 근거 미서술
📌 외워두면 득점하는 패턴
혼합 완전제곱식 분해 암기 공식
- \(A^2-2AB+2B^2=(A-B)^2+B^2\)
- \(2A^2-2AB+B^2=A^2+(A-B)^2\)
- 이런 변환은 두 변수의 교차항이 있을 때 적용!
⏱ 시험별 목표 풀이 시간
🏫 내신 서술형: 목표 6분
→ 치환 → 핵심 변환 → y 완전제곱 → 최솟값 → k 결정 (각 단계 서술 필수)
📝 수능 유사 유형: 목표 3분
→ 핵심 변환 즉시 적용 + 최솟값 조건으로 k 결정
📸 출판사 공식 해설
📚 관련 개념 포스트
✏️ 연산 워크시트
🚀 마플시너지 추가 연습
마플시너지 공수1 | 교차항 완전제곱 + k 결정 서술형 심화 마플시너지 공수1 | 이변수 완전제곱식 최대·최소 종합
🗺️ 추천 학습 순서
- 629번 포스트 → 삼변수 완전제곱식 기초 복습
- 개념 포스트 (교차항 완전제곱 분해) → 핵심 변환 암기
- 마플시너지 → 교차항 + k 결정 서술형 심화