쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
528번 · 유리수 계수 이차방정식 — 무리수 켤레근 + 고차식 간소화
— \(a=1-\sqrt{2}\)에서 \(a^2-2a=1\)로 고차식 빠르게 계산!
난이도 : 상
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (무리수 켤레근 + 고차식 환원)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 1/(√2−1)=1+√2 유리화 → 유리수 계수 → 켤레근 1−√2도 근
- 📐 a=1−√2 → (a−1)²=2 → a²−2a=1 → 2a³−4a²−a−1=a−1=−√2
- ⚠️ a²−2a=1 관계식으로 고차식을 1차식으로 환원!
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
계수가 모두 유리수인 이차방정식의 두 근이 \(\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}\), \(a\)일 때,
\(2a^3-4a^2-a-1\)의 값을 구하는 문제입니다.
💎 유리수 계수 이차방정식의 무리수 켤레근
계수가 모두 유리수인 이차방정식의 한 근이 \(p+q\sqrt{m}\)이면,
나머지 한 근은 반드시 \(p-q\sqrt{m}\) (켤레무리수)!
계수가 모두 유리수인 이차방정식의 한 근이 \(p+q\sqrt{m}\)이면,
나머지 한 근은 반드시 \(p-q\sqrt{m}\) (켤레무리수)!
✏️ 단계별 풀이
1
한 근 유리화
\[\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}\cdot\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}+1}{2-1}=1+\sqrt{2}\]
\[\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}\cdot\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}+1}{2-1}=1+\sqrt{2}\]
2
켤레근 결정 (a 결정)
\(1+\sqrt{2}\)가 근이면 유리수 계수이므로 켤레무리수 \(1-\sqrt{2}\)도 근
따라서 \(a=1-\sqrt{2}\)
\(1+\sqrt{2}\)가 근이면 유리수 계수이므로 켤레무리수 \(1-\sqrt{2}\)도 근
따라서 \(a=1-\sqrt{2}\)
3
a의 관계식 도출
\(a=1-\sqrt{2}\)에서 \(a-1=-\sqrt{2}\)
양변 제곱: \((a-1)^2=2 \implies a^2-2a+1=2 \implies a^2-2a=1\)
\(a=1-\sqrt{2}\)에서 \(a-1=-\sqrt{2}\)
양변 제곱: \((a-1)^2=2 \implies a^2-2a+1=2 \implies a^2-2a=1\)
4
고차식 환원 (핵심!)
\[2a^3-4a^2-a-1\] \[= 2a(a^2-2a)-a-1\] \[= 2a\cdot1-a-1 \quad (\because a^2-2a=1)\] \[= 2a-a-1 = a-1 = -\sqrt{2}\]
\[2a^3-4a^2-a-1\] \[= 2a(a^2-2a)-a-1\] \[= 2a\cdot1-a-1 \quad (\because a^2-2a=1)\] \[= 2a-a-1 = a-1 = -\sqrt{2}\]
정답 : ② \(-\sqrt{2}\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
무리근 활용 고차식 환원 루틴
① 한 근을 \(a\)로 놓고 \((a-p)^2=q\) 형태 제곱 관계식 도출
② \(a^2-2pa=(q-p^2)\) 형태로 정리
③ 고차식을 인수 분리 → 관계식 대입 → 차수 낮추기
④ \(a\)의 값(\(1-\sqrt{2}\))을 마지막에 대입
① 한 근을 \(a\)로 놓고 \((a-p)^2=q\) 형태 제곱 관계식 도출
② \(a^2-2pa=(q-p^2)\) 형태로 정리
③ 고차식을 인수 분리 → 관계식 대입 → 차수 낮추기
④ \(a\)의 값(\(1-\sqrt{2}\))을 마지막에 대입
⚠️ 이런 실수 조심!
- 1/(√2−1)=1+√2 유리화 실수 — 분모·분자에 √2+1 곱하기, 분모=(√2)²−1²=1
- 2a³−4a²−a−1에서 2a(a²−2a) 묶기를 시도하지 않고 직접 a=1−√2 대입하는 실수 — 계산이 복잡해지므로 관계식 활용이 훨씬 효율적!
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
4분
수능·모의고사
3분
🖼️ 교재 해설 이미지
