쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
524번 · 켤레근 \(3\pm\sqrt{2}i\)로 \(a^2+b^2\) 계산
— 켤레근의 합·곱 → \(a-b\), \(ab\) → \(a^2+b^2=(a-b)^2+2ab\)!
난이도 : 중
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (켤레근 기본 + a²+b² 계산)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 실수 계수 → 3+√2i가 근이면 3−√2i도 근 (켤레근)
- 📐 두 근의 합=6=−(a−b), 두 근의 곱=11=ab → a²+b²=36+22=58
- ⚠️ a²+b²=(a−b)²+2ab 공식 활용 (a+b 필요 없음!)
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(x^2+(a-b)x+ab=0\)의 한 근이 \(3+\sqrt{2}i\)일 때,
실수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(a^2+b^2\)의 값을 구하는 문제입니다.
💎 켤레근 성질
실수 계수 이차방정식의 한 근이 \(p+qi\) (\(q\neq0\))이면,
나머지 한 근은 반드시 \(p-qi\) (켤레복소수)!
→ 한 근이 \(3+\sqrt{2}i\)이면 다른 한 근은 \(3-\sqrt{2}i\)
실수 계수 이차방정식의 한 근이 \(p+qi\) (\(q\neq0\))이면,
나머지 한 근은 반드시 \(p-qi\) (켤레복소수)!
→ 한 근이 \(3+\sqrt{2}i\)이면 다른 한 근은 \(3-\sqrt{2}i\)
✏️ 단계별 풀이
1
두 근의 합·곱 계산
합: \((3+\sqrt{2}i)+(3-\sqrt{2}i)=6\)
곱: \((3+\sqrt{2}i)(3-\sqrt{2}i)=9+2=11\)
합: \((3+\sqrt{2}i)+(3-\sqrt{2}i)=6\)
곱: \((3+\sqrt{2}i)(3-\sqrt{2}i)=9+2=11\)
2
근과 계수의 관계 적용
\(x^2+(a-b)x+ab=0\)에서:
두 근의 합 = \(-(a-b)=6 \implies a-b=-6\)
두 근의 곱 = \(ab=11\)
\(x^2+(a-b)x+ab=0\)에서:
두 근의 합 = \(-(a-b)=6 \implies a-b=-6\)
두 근의 곱 = \(ab=11\)
3
a²+b² 계산
\[a^2+b^2 = (a-b)^2+2ab = (-6)^2+2(11) = 36+22 = 58\]
\[a^2+b^2 = (a-b)^2+2ab = (-6)^2+2(11) = 36+22 = 58\]
정답 : 58
🧠 외워두면 좋은 패턴
켤레근 문제 기본 루틴
① 실수 계수 확인 → 켤레근 자동 결정
② 켤레 쌍의 합 = \(2p\) (실수부 2배), 켤레 쌍의 곱 = \(p^2+q^2\)
③ 근과 계수의 관계로 방정식 계수 결정
④ \(a^2+b^2=(a-b)^2+2ab\) 또는 \((a+b)^2-2ab\) 변환 활용
① 실수 계수 확인 → 켤레근 자동 결정
② 켤레 쌍의 합 = \(2p\) (실수부 2배), 켤레 쌍의 곱 = \(p^2+q^2\)
③ 근과 계수의 관계로 방정식 계수 결정
④ \(a^2+b^2=(a-b)^2+2ab\) 또는 \((a+b)^2-2ab\) 변환 활용
⚠️ 이런 실수 조심!
- 방정식이 x²+(a−b)x+ab=0이므로 두 근의 합=−(a−b)임에 주의 — 부호 혼동!
- (3+√2i)(3−√2i)=9−2i²=9+2=11 계산에서 i²=−1 처리
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
3분
수능·모의고사
2분 30초
🖼️ 교재 해설 이미지
