쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
521번 · \(f(x)=x^2+4x-2\), \(f(\alpha)=f(\beta)=1\) → \(\alpha^3+\beta^3\)
— \(f(x)=1\) → \(x^2+4x-3=0\)의 근이 \(\alpha, \beta\)!
난이도 : 상
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (f(α)=k 조건 + 3차 대칭식 계산)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 f(α)=1 → x²+4x−3=0의 근이 α, β → α+β=−4, αβ=−3
- 📐 α³+β³=(α+β)³−3αβ(α+β)=(−4)³−3(−3)(−4)=−64−36=−100
- ⚠️ α³+β³ 공식: (α+β)[(α+β)²−3αβ] 또는 (α+β)³−3αβ(α+β)
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📌 문제 핵심 파악
이차식 \(f(x)=x^2+4x-2\)에 대하여 \(f(\alpha)=f(\beta)=1\)일 때,
\(\alpha^3+\beta^3\)의 값을 구하는 문제입니다.
✏️ 단계별 풀이
1
f(α)=1에서 방정식 수립
\(f(x)=1\) → \(x^2+4x-2=1\) → \(x^2+4x-3=0\)
이 방정식의 두 근이 \(\alpha\), \(\beta\)이다.
\(f(x)=1\) → \(x^2+4x-2=1\) → \(x^2+4x-3=0\)
이 방정식의 두 근이 \(\alpha\), \(\beta\)이다.
2
근과 계수의 관계
\(\alpha+\beta = -4\), \quad \(\alpha\beta = -3\)
\(\alpha+\beta = -4\), \quad \(\alpha\beta = -3\)
3
α³+β³ 계산
\[\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)\] \[= (-4)^3-3(-3)(-4) = -64-36 = -100\]
\[\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)\] \[= (-4)^3-3(-3)(-4) = -64-36 = -100\]
정답 : ① \(\alpha^3+\beta^3=-100\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
3차 대칭식 공식
\[\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)\] \[= (\alpha+\beta)[(\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta]\]
계산 팁: \((-4)^3=-64\), \(3\times(-3)\times(-4)=+36\)
→ \(-64-36=-100\) (양쪽 모두 음수!)
\[\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)\] \[= (\alpha+\beta)[(\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta]\]
계산 팁: \((-4)^3=-64\), \(3\times(-3)\times(-4)=+36\)
→ \(-64-36=-100\) (양쪽 모두 음수!)
⚠️ 이런 실수 조심!
- f(α)=1에서 α²+4α−2=1 → α²+4α−3=0으로 변환하는 것을 놓치는 실수
- α³+β³ 공식에서 −3αβ(α+β) 부호 실수 — \(-3\times(-3)\times(-4)=-36\) (모두 음수이면 음수!)
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
4분
수능·모의고사
3분
🖼️ 교재 해설 이미지
