쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
519번 · \(\frac{1}{2}x^2-x+1\)의 인수분해 → \(a, b\) 결정 서술형
— 계수 \(\frac{1}{2}\) 처리 후 허근 \(1\pm i\) → \(a=-1\), \(b=1\)
난이도 : 상✍️ 서술형
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (최고차계수 포함 인수분해 서술형)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 (1/2)x²−x+1=0 → x²−2x+2=0 → x=1±i
- 📐 (1/2)(x−1−i)(x−1+i) = (1/2)(x+a−i)(x−1+bi) → a=−1, b=1
- ✍️ 서술형: 근 계산, 인수분해, 계수 비교 과정 서술
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
이차식 \(\dfrac{1}{2}x^2-x+1\)을 복소수의 범위에서 인수분해하면
\(\dfrac{1}{2}(x+a-i)(x-1+bi)\)이다. 이때 실수 \(a\), \(b\)에 대하여 \(a-b\)의 값을 구하는 서술형 문제입니다.
✏️ 단계별 풀이
1
방정식 세우고 근 계산
\(\dfrac{1}{2}x^2-x+1=0\) → 양변에 2를 곱하면 \(x^2-2x+2=0\)
\[x = \frac{2\pm\sqrt{4-8}}{2} = \frac{2\pm\sqrt{-4}}{2} = \frac{2\pm 2i}{2} = 1\pm i\]
\(\dfrac{1}{2}x^2-x+1=0\) → 양변에 2를 곱하면 \(x^2-2x+2=0\)
\[x = \frac{2\pm\sqrt{4-8}}{2} = \frac{2\pm\sqrt{-4}}{2} = \frac{2\pm 2i}{2} = 1\pm i\]
2
인수분해
\[\frac{1}{2}x^2-x+1 = \frac{1}{2}(x-(1+i))(x-(1-i))\] \[= \frac{1}{2}(x-1-i)(x-1+i)\]
\[\frac{1}{2}x^2-x+1 = \frac{1}{2}(x-(1+i))(x-(1-i))\] \[= \frac{1}{2}(x-1-i)(x-1+i)\]
3
계수 비교
문제의 형태: \(\dfrac{1}{2}(x+a-i)(x-1+bi)\)
풀이 결과: \(\dfrac{1}{2}(x-1-i)(x-1+i)\)
따라서 \(a=-1\), \(b=1\)
문제의 형태: \(\dfrac{1}{2}(x+a-i)(x-1+bi)\)
풀이 결과: \(\dfrac{1}{2}(x-1-i)(x-1+i)\)
따라서 \(a=-1\), \(b=1\)
4
최종 계산
\[a-b = -1-1 = -2\]
\[a-b = -1-1 = -2\]
정답 : \(a-b=-2\)
✍️ 서술형 채점 포인트
① 방정식 (1/2)x²−x+1=0 설정 및 양변×2 (1점)
② 근 x=1±i 계산 과정 (2점)
③ 인수분해 결과 (1/2)(x−1−i)(x−1+i) 제시 (2점)
④ a=−1, b=1 결정 (1점)
⑤ a−b=−2 최종 답 (1점)
② 근 x=1±i 계산 과정 (2점)
③ 인수분해 결과 (1/2)(x−1−i)(x−1+i) 제시 (2점)
④ a=−1, b=1 결정 (1점)
⑤ a−b=−2 최종 답 (1점)
⚠️ 이런 실수 조심!
- 최고차계수 1/2를 인수분해 결과에 포함하지 않는 실수 — (1/2)(x-1-i)(x-1+i) 형태 유지!
- x-1-i를 (x+a-i)와 비교 시 a=1로 잘못 읽는 실수 — x-1=x+a이므로 a=−1!
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
4분
수능·모의고사
3분
🖼️ 교재 해설 이미지
