쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
515번 · \(f(3x-1)=0\)의 두 근의 곱 서술형
— \(3x-1=\alpha\) 치환 → 새 근의 곱 \(=\frac{(\alpha+1)(\beta+1)}{9}\)
난이도 : 상✍️ 서술형
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (합성함수 치환 + 곱 계산 서술형)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 f(3x−1)=0의 두 근: (α+1)/3, (β+1)/3
- 📐 곱=(α+1)(β+1)/9={αβ+(α+β)+1}/9=(−2+5+1)/9=4/9
- ✍️ 서술형: 치환 과정, 곱 계산, 대칭식 전개 모두 서술
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(f(x)=0\)의 두 근 \(\alpha\), \(\beta\)에 대하여 \(\alpha+\beta=5\), \(\alpha\beta=-2\)일 때,
이차방정식 \(f(3x-1)=0\)의 두 근의 곱을 구하는 서술형 문제입니다.
✏️ 단계별 풀이
1
f(3x−1)=0의 두 근 결정
\(f(3x-1)=0\)이면 \(3x-1=\alpha\) 또는 \(3x-1=\beta\)
두 근: \(\dfrac{\alpha+1}{3}\), \(\dfrac{\beta+1}{3}\)
\(f(3x-1)=0\)이면 \(3x-1=\alpha\) 또는 \(3x-1=\beta\)
두 근: \(\dfrac{\alpha+1}{3}\), \(\dfrac{\beta+1}{3}\)
2
두 근의 곱 계산
\[\frac{\alpha+1}{3}\cdot\frac{\beta+1}{3} = \frac{(\alpha+1)(\beta+1)}{9}\]
\[\frac{\alpha+1}{3}\cdot\frac{\beta+1}{3} = \frac{(\alpha+1)(\beta+1)}{9}\]
3
(α+1)(β+1) 전개
\[(\alpha+1)(\beta+1) = \alpha\beta+(\alpha+\beta)+1 = -2+5+1 = 4\]
\[(\alpha+1)(\beta+1) = \alpha\beta+(\alpha+\beta)+1 = -2+5+1 = 4\]
4
최종 답
\[\text{두 근의 곱} = \frac{4}{9}\]
\[\text{두 근의 곱} = \frac{4}{9}\]
정답 : \(\dfrac{4}{9}\)
✍️ 서술형 채점 포인트
① f(3x−1)=0의 두 근이 (α+1)/3, (β+1)/3임을 명시 (2점)
② 두 근의 곱 = (α+1)(β+1)/9 설정 (1점)
③ (α+1)(β+1) = αβ+(α+β)+1 전개 과정 (2점)
④ =4/9 최종 답 (1점)
② 두 근의 곱 = (α+1)(β+1)/9 설정 (1점)
③ (α+1)(β+1) = αβ+(α+β)+1 전개 과정 (2점)
④ =4/9 최종 답 (1점)
🧠 외워두면 좋은 패턴
\(f(ax+b)=0\) 두 근의 합·곱 공식
\(f(x)=0\)의 근 \(\alpha\), \(\beta\)에 대해 \(f(ax+b)=0\)의 두 근:
합 = \(\dfrac{(\alpha+\beta)-2b}{a}\) 곱 = \(\dfrac{(\alpha-b)(\beta-b)}{a^2}\)
\(f(3x-1)=0\)이면: 곱 = \(\dfrac{(\alpha+1)(\beta+1)}{9}\) (b=−1이므로 −b=+1)
\(f(x)=0\)의 근 \(\alpha\), \(\beta\)에 대해 \(f(ax+b)=0\)의 두 근:
합 = \(\dfrac{(\alpha+\beta)-2b}{a}\) 곱 = \(\dfrac{(\alpha-b)(\beta-b)}{a^2}\)
\(f(3x-1)=0\)이면: 곱 = \(\dfrac{(\alpha+1)(\beta+1)}{9}\) (b=−1이므로 −b=+1)
⚠️ 이런 실수 조심!
- (α+1)(β+1) 전개 시 +1 상수항 빠뜨리는 실수 — αβ+(α+β)+1 = −2+5+1 = 4
- 분모를 3이 아닌 9로 해야 함 (두 분수를 곱하므로 3×3=9)
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
4분
수능·모의고사
3분
🖼️ 교재 해설 이미지
