쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
512번 · 잘못된 근의 공식 적용 → 두 근에서 원래 방정식의 두 근의 곱
— 잘못된 공식에서도 합·곱과 계수의 관계를 추출!
난이도 : 상
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- 📹 풀이 영상 (잘못된 근의 공식 분석)
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- 🔑 잘못된 공식의 두 근 합=−b/a, 곱=c/(4a) 추출
- 📐 합=−1 → a=b, 곱=−2 → c=−8a → 원래 방정식 두 근의 곱=−8
- ⚠️ 잘못된 공식에서 합·곱 관계를 유도하는 과정이 핵심!
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(ax^2+bx+c=0\)의 근을 구하는데,
근의 공식을 \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-ac}}{2a}\)로 잘못 적용하여 두 근 \(-2\), \(1\)을 얻었습니다.
원래 이차방정식의 두 근의 곱을 구하는 문제입니다.
💡 핵심 전략 — 잘못된 공식에서도 합·곱을 추출!
잘못된 공식 \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-ac}}{2a}\)에서:
두 근의 합 = \(\dfrac{-b+\sqrt{\cdot}}{2a}+\dfrac{-b-\sqrt{\cdot}}{2a}=\dfrac{-b}{a}\)
두 근의 곱 = \(\dfrac{(-b)^2-(b^2-ac)}{4a^2}=\dfrac{ac}{4a^2}=\dfrac{c}{4a}\)
잘못된 공식 \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-ac}}{2a}\)에서:
두 근의 합 = \(\dfrac{-b+\sqrt{\cdot}}{2a}+\dfrac{-b-\sqrt{\cdot}}{2a}=\dfrac{-b}{a}\)
두 근의 곱 = \(\dfrac{(-b)^2-(b^2-ac)}{4a^2}=\dfrac{ac}{4a^2}=\dfrac{c}{4a}\)
✏️ 단계별 풀이
1
잘못된 공식의 두 근에서 관계 추출
두 근 \(-2\), \(1\)의 합 = \(-1 = -\dfrac{b}{a}\) → \(a=b\)
두 근 \(-2\), \(1\)의 곱 = \(-2 = \dfrac{c}{4a}\) → \(c=-8a\)
두 근 \(-2\), \(1\)의 합 = \(-1 = -\dfrac{b}{a}\) → \(a=b\)
두 근 \(-2\), \(1\)의 곱 = \(-2 = \dfrac{c}{4a}\) → \(c=-8a\)
2
원래 방정식 복원
\(a=b\), \(c=-8a\)이므로 원래 방정식: \(ax^2+ax-8a=0\)
양변을 \(a\)로 나누면: \(x^2+x-8=0\)
\(a=b\), \(c=-8a\)이므로 원래 방정식: \(ax^2+ax-8a=0\)
양변을 \(a\)로 나누면: \(x^2+x-8=0\)
3
원래 방정식의 두 근의 곱
\(x^2+x-8=0\)에서 두 근의 곱 = \(\dfrac{-8}{1}=-8\)
\(x^2+x-8=0\)에서 두 근의 곱 = \(\dfrac{-8}{1}=-8\)
정답 : ① \(-8\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
잘못된 근의 공식에서 합·곱 추출 공식
잘못된 공식 \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-ac}}{2a}\)에서:
두 근의 합 = \(-\dfrac{b}{a}\) (정상과 동일!)
두 근의 곱 = \(\dfrac{b^2-(b^2-ac)}{4a^2}=\dfrac{c}{4a}\) (정상의 1/4배!)
잘못된 공식 \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-ac}}{2a}\)에서:
두 근의 합 = \(-\dfrac{b}{a}\) (정상과 동일!)
두 근의 곱 = \(\dfrac{b^2-(b^2-ac)}{4a^2}=\dfrac{c}{4a}\) (정상의 1/4배!)
⚠️ 이런 실수 조심!
- 잘못된 공식에서 두 근의 곱이 c/(4a)임을 도출하지 못하는 실수 — 분자의 차이 공식: \((−b)^2−(b^2−ac)=ac\)
- 원래 방정식의 근을 잘못된 방법으로 구한 근과 같다고 착각하는 실수
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
4분
수능·모의고사
3분
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