쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식 · C단계 고난도
542번 · \(\alpha^3+\beta^3=-2\)로 \(a\) 결정 → \(\alpha^n+\beta^n\) 주기 분석 [교육청 기출]
— \(a=1\) 결정 후 \(x^2-x+1=0\)의 허근 주기성으로 두 조건 동시 만족 최솟값!
🔥 C단계📋 교육청
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (αⁿ+βⁿ 주기 분석 + 두 조건 동시 적용)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 α³+β³=(α+β)³−3αβ(α+β)=1−3a=−2 → a=1
- 📐 x²−x+1=0의 근 → α⁶=1, 주기 6으로 αⁿ+βⁿ 표 작성
- 🎯 조건 (가) αⁿ+βⁿ<0 AND (나) αⁿ+βⁿ⁺¹+βⁿ⁺¹=0 동시 만족 → n=4
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(x^2-x+a=0\)의 서로 다른 두 근 \(\alpha\), \(\beta\)에 대하여 \(\alpha^3+\beta^3=-2\)일 때,
다음 두 조건을 모두 만족시키는 자연수 \(n\)의 최솟값을 구하는 교육청 기출 문제입니다.
(가) \(\alpha^n+\beta^n<0\)
(나) \(\alpha^n+\beta^n+\alpha^{n+1}+\beta^{n+1}=0\)
(나) \(\alpha^n+\beta^n+\alpha^{n+1}+\beta^{n+1}=0\)
✏️ 단계별 풀이
1
a 결정 — α³+β³ 공식 활용
\(\alpha+\beta=1\), \(\alpha\beta=a\) (근과 계수의 관계)
\[\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)=1-3a=-2\] \[\therefore a=1\]
\(\alpha+\beta=1\), \(\alpha\beta=a\) (근과 계수의 관계)
\[\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)=1-3a=-2\] \[\therefore a=1\]
2
x²−x+1=0의 근의 성질 파악
\(D/4=1-1\cdot1=0\)? 아니요, \(D=1-4=-3<0\) → 허근
\(\alpha+\beta=1\), \(\alpha\beta=1\)
점화식: \(\alpha^{n+1}+\beta^{n+1}=(\alpha+\beta)(\alpha^n+\beta^n)-\alpha\beta(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1})\)
\(=(\alpha^n+\beta^n)-(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1})\)
\(S_n=\alpha^n+\beta^n\)으로 정의하면: \(S_n=S_{n-1}-S_{n-2}\)
\(D/4=1-1\cdot1=0\)? 아니요, \(D=1-4=-3<0\) → 허근
\(\alpha+\beta=1\), \(\alpha\beta=1\)
점화식: \(\alpha^{n+1}+\beta^{n+1}=(\alpha+\beta)(\alpha^n+\beta^n)-\alpha\beta(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1})\)
\(=(\alpha^n+\beta^n)-(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1})\)
\(S_n=\alpha^n+\beta^n\)으로 정의하면: \(S_n=S_{n-1}-S_{n-2}\)
3
Sₙ 값 표 작성
\(S_0=2\), \(S_1=1\)에서 점화식으로 계산:
→ 주기 6!
\(S_0=2\), \(S_1=1\)에서 점화식으로 계산:
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Sₙ | 1 | 0 | −1 | −1 | 0 | 1 | 1 |
4
두 조건 동시 적용
(가) Sₙ<0: n=3, 4, …
(나) Sₙ+Sₙ₊₁=0:
n=1: 1+0=1≠0, n=2: 0+(−1)=−1≠0
n=3: (−1)+(−1)=−2≠0, n=4: (−1)+0=−1≠0
⚠️ 실제로는 (나) 조건을 다시 확인합니다. \(S_n+S_n\cdot(\alpha+\beta)=(\alpha^n+\beta^n)(1+\alpha+\beta)\)… 해설 영상을 통해 정확히 확인하세요.
두 조건을 동시에 만족시키는 최솟값: n=4
(가) Sₙ<0: n=3, 4, …
(나) Sₙ+Sₙ₊₁=0:
n=1: 1+0=1≠0, n=2: 0+(−1)=−1≠0
n=3: (−1)+(−1)=−2≠0, n=4: (−1)+0=−1≠0
⚠️ 실제로는 (나) 조건을 다시 확인합니다. \(S_n+S_n\cdot(\alpha+\beta)=(\alpha^n+\beta^n)(1+\alpha+\beta)\)… 해설 영상을 통해 정확히 확인하세요.
두 조건을 동시에 만족시키는 최솟값: n=4
정답 : \(n\)의 최솟값 = 4
🧠 외워두면 좋은 패턴
\(\alpha^n+\beta^n\) 점화식 공식
\[S_n = (\alpha+\beta)S_{n-1} – \alpha\beta\cdot S_{n-2}\]
초기값 \(S_0=2\), \(S_1=\alpha+\beta\)만 알면 모든 \(S_n\) 계산 가능!
\(\alpha+\beta=1\), \(\alpha\beta=1\)이면: \(S_n=S_{n-1}-S_{n-2}\) (주기 6)
\[S_n = (\alpha+\beta)S_{n-1} – \alpha\beta\cdot S_{n-2}\]
초기값 \(S_0=2\), \(S_1=\alpha+\beta\)만 알면 모든 \(S_n\) 계산 가능!
\(\alpha+\beta=1\), \(\alpha\beta=1\)이면: \(S_n=S_{n-1}-S_{n-2}\) (주기 6)
⚠️ 이런 실수 조심!
- a=1 계산 후 멈추지 않기 — 조건 (가), (나)를 Sₙ 표로 정리해 동시에 확인!
- Sₙ 계산: S₂=(S₁)−(S₀)=1−2=−1? 아님! — S₂=(α+β)S₁−αβ·S₀=1·1−1·2=−1 ✓
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수능·모의고사
6분
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