쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식 · C단계 고난도
537번 · \(\{P(x)+2\}^2=(x-a)(x-2a)+4\) → 우변이 완전제곱식 → 모든 \(P(1)\) 합 [교육청 기출]
— 우변 완전제곱식 조건으로 \(a=\pm4\) → \(P(x)+2=\pm\sqrt{\text{식}}\) 두 경우씩!
🔥 C단계📋 교육청
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (완전제곱식 조건 + 경우 분류)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 {P(x)+2}²= 완전제곱식 → 우변 D=a²−16=0 → a=±4
- 📐 a=4: P(x)+2=±(x−6) → P(1)=−7 or 3
- 📐 a=−4: P(x)+2=±(x+6) → P(1)=5 or −9
- 🎯 합=−7+3+5+(−9)=−8
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📌 문제 핵심 파악
모든 실수 \(x\)에 대하여 다항식 \(P(x)\)가
\(\{P(x)+2\}^2=(x-a)(x-2a)+4\)를 만족시킬 때,
모든 \(P(1)\)의 값의 합을 구하는 교육청 기출 문제입니다.
💡 핵심 아이디어 — 좌변이 완전제곱식이면 우변도 완전제곱식!
\(\{P(x)+2\}^2\)은 다항식의 제곱이므로 우변 \((x-a)(x-2a)+4\)도
반드시 어떤 다항식의 제곱 형태여야 합니다.
\(\{P(x)+2\}^2\)은 다항식의 제곱이므로 우변 \((x-a)(x-2a)+4\)도
반드시 어떤 다항식의 제곱 형태여야 합니다.
✏️ 단계별 풀이
1
우변 전개 및 완전제곱식 조건
\[(x-a)(x-2a)+4 = x^2-3ax+2a^2+4\]
이 이차식이 완전제곱식: \(D=(3a)^2-4(2a^2+4)=9a^2-8a^2-16=a^2-16=0\)
\[a=4 \text{ 또는 } a=-4\]
\[(x-a)(x-2a)+4 = x^2-3ax+2a^2+4\]
이 이차식이 완전제곱식: \(D=(3a)^2-4(2a^2+4)=9a^2-8a^2-16=a^2-16=0\)
\[a=4 \text{ 또는 } a=-4\]
2
a=4인 경우
\[(x-4)(x-8)+4=x^2-12x+36=(x-6)^2\]
\(\{P(x)+2\}^2=(x-6)^2\implies P(x)+2=\pm(x-6)\)
\(P(1)+2=\pm(1-6)=\pm(-5)\)
\(P(1)=-7\) 또는 \(P(1)=3\)
\[(x-4)(x-8)+4=x^2-12x+36=(x-6)^2\]
\(\{P(x)+2\}^2=(x-6)^2\implies P(x)+2=\pm(x-6)\)
\(P(1)+2=\pm(1-6)=\pm(-5)\)
\(P(1)=-7\) 또는 \(P(1)=3\)
3
a=−4인 경우
\[(x+4)(x+8)+4=x^2+12x+36=(x+6)^2\]
\(\{P(x)+2\}^2=(x+6)^2\implies P(x)+2=\pm(x+6)\)
\(P(1)+2=\pm7\)
\(P(1)=5\) 또는 \(P(1)=-9\)
\[(x+4)(x+8)+4=x^2+12x+36=(x+6)^2\]
\(\{P(x)+2\}^2=(x+6)^2\implies P(x)+2=\pm(x+6)\)
\(P(1)+2=\pm7\)
\(P(1)=5\) 또는 \(P(1)=-9\)
4
모든 P(1)의 합
\[-7+3+5+(-9)=-8\]
\[-7+3+5+(-9)=-8\]
정답 : ② 모든 \(P(1)\)의 값의 합 = \(-8\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
\(\{f(x)\}^2=g(x)\) 처리 루틴
① \(g(x)\)가 완전제곱식이어야 함 → D=0으로 매개변수 결정
② \(f(x)=\pm\sqrt{g(x)}\) 두 경우 모두 처리
③ 각 경우에서 구하는 값 계산 → 합산
① \(g(x)\)가 완전제곱식이어야 함 → D=0으로 매개변수 결정
② \(f(x)=\pm\sqrt{g(x)}\) 두 경우 모두 처리
③ 각 경우에서 구하는 값 계산 → 합산
⚠️ 이런 실수 조심!
- P(x)+2=+(x−6)만 고려하는 실수 — ±두 가지 모두 4가지 경우!
- D=(3a)²−4(1)(2a²+4) 계산 — x²계수=1이므로 −4×1×(2a²+4)
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
7분
수능·모의고사
5분
🖼️ 교재 해설 이미지
