쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
506번 · 분수형 새 두 근 \(\frac{1+\alpha}{1-\beta}\), \(\frac{1+\beta}{1-\alpha}\) → 이차방정식 서술형
— 통분 후 분자·분모를 α+β, αβ로 정리!
난이도 : 상✍️ 서술형
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (복잡한 분수 근 처리 전략)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 두 분수 근의 합을 통분 → 분자/분모를 α+β, αβ로 표현
- 📐 합=2, 곱=−1/3 → 3(x²−2x−1/3)=0 → 3x²−6x−1=0
- ✍️ 서술형 채점: 통분 과정, 합·곱 계산, 최종 방정식까지
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(x^2-2x-2=0\)의 두 근 \(\alpha\), \(\beta\)에 대하여
\(\dfrac{1+\alpha}{1-\beta}\), \(\dfrac{1+\beta}{1-\alpha}\)를 두 근으로 하고 \(x^2\)의 계수가 3인 이차방정식을 구하는 서술형 문제입니다.
💡 핵심 전략 — 통분으로 합·곱 계산
분수형 두 근의 합은 통분해서 분자를 \(\alpha+\beta\), \(\alpha\beta\)로 표현
분수형 두 근의 곱은 분자끼리·분모끼리 곱해서 정리
분수형 두 근의 합은 통분해서 분자를 \(\alpha+\beta\), \(\alpha\beta\)로 표현
분수형 두 근의 곱은 분자끼리·분모끼리 곱해서 정리
✏️ 단계별 풀이
1
근과 계수의 관계
\(\alpha+\beta=2\), \quad \(\alpha\beta=-2\)
\(\alpha+\beta=2\), \quad \(\alpha\beta=-2\)
2
새 두 근의 합 계산 (통분)
\[\frac{1+\alpha}{1-\beta}+\frac{1+\beta}{1-\alpha} = \frac{(1+\alpha)(1-\alpha)+(1+\beta)(1-\beta)}{(1-\beta)(1-\alpha)}\] 분자: \((1-\alpha^2)+(1-\beta^2) = 2-(\alpha^2+\beta^2) = 2-[(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta]\)
\(= 2-(4+4) = 2-8 = -6\)
분모: \((1-\beta)(1-\alpha) = 1-(\alpha+\beta)+\alpha\beta = 1-2-2 = -3\)
합 \(= \dfrac{-6}{-3} = 2\)
\[\frac{1+\alpha}{1-\beta}+\frac{1+\beta}{1-\alpha} = \frac{(1+\alpha)(1-\alpha)+(1+\beta)(1-\beta)}{(1-\beta)(1-\alpha)}\] 분자: \((1-\alpha^2)+(1-\beta^2) = 2-(\alpha^2+\beta^2) = 2-[(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta]\)
\(= 2-(4+4) = 2-8 = -6\)
분모: \((1-\beta)(1-\alpha) = 1-(\alpha+\beta)+\alpha\beta = 1-2-2 = -3\)
합 \(= \dfrac{-6}{-3} = 2\)
3
새 두 근의 곱 계산
\[\frac{1+\alpha}{1-\beta} \cdot \frac{1+\beta}{1-\alpha} = \frac{(1+\alpha)(1+\beta)}{(1-\beta)(1-\alpha)}\] 분자: \(1+(\alpha+\beta)+\alpha\beta = 1+2-2 = 1\)
분모: \(-3\) (위에서 계산)
곱 \(= \dfrac{1}{-3} = -\dfrac{1}{3}\)
\[\frac{1+\alpha}{1-\beta} \cdot \frac{1+\beta}{1-\alpha} = \frac{(1+\alpha)(1+\beta)}{(1-\beta)(1-\alpha)}\] 분자: \(1+(\alpha+\beta)+\alpha\beta = 1+2-2 = 1\)
분모: \(-3\) (위에서 계산)
곱 \(= \dfrac{1}{-3} = -\dfrac{1}{3}\)
4
이차방정식 작성
\[x^2-2x-\frac{1}{3}=0\] 계수 3으로 맞추기: \(3x^2-6x-1=0\)
\[x^2-2x-\frac{1}{3}=0\] 계수 3으로 맞추기: \(3x^2-6x-1=0\)
정답 : \(3x^2-6x-1=0\)
✍️ 서술형 채점 포인트
① α+β=2, αβ=−2 도출 (1점)
② 두 근의 합 통분 → 분자/분모 각각 계산 → 합=2 (3점)
③ 두 근의 곱 계산 → 곱=−1/3 (2점)
④ x²의 계수 3에 맞춘 최종 방정식 제시 (2점)
② 두 근의 합 통분 → 분자/분모 각각 계산 → 합=2 (3점)
③ 두 근의 곱 계산 → 곱=−1/3 (2점)
④ x²의 계수 3에 맞춘 최종 방정식 제시 (2점)
🧠 외워두면 좋은 패턴
분수형 두 근의 합·곱 계산 순서
합: 통분 → 분자 \((1-\alpha^2)+(1-\beta^2)\) → \(\alpha+\beta\), \(\alpha\beta\)로 표현
곱: 분자끼리 \((1+\alpha)(1+\beta)\), 분모끼리 \((1-\alpha)(1-\beta)\) → 각각 전개
합: 통분 → 분자 \((1-\alpha^2)+(1-\beta^2)\) → \(\alpha+\beta\), \(\alpha\beta\)로 표현
곱: 분자끼리 \((1+\alpha)(1+\beta)\), 분모끼리 \((1-\alpha)(1-\beta)\) → 각각 전개
⚠️ 이런 실수 조심!
- 분모 (1−α)(1−β)를 두 근의 합 계산과 곱 계산 모두에 사용 — 한 번 계산해서 재사용!
- 분자 (1+α)(1+β) vs (1−α²) 혼동 — 합의 분자는 (1−α²)+(1−β²), 곱의 분자는 (1+α)(1+β)
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
6분
수능·모의고사
5분
🖼️ 교재 해설 이미지
