쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
502번 · 역수 근 \(1/\alpha\), \(1/\beta\)가 두 번째 방정식의 근 — \(a-b\) 계산
— \(1/\alpha+1/\beta=(\alpha+\beta)/(\alpha\beta)\), \(1/\alpha\beta=1/(\alpha\beta)\) 이용!
난이도 : 상
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (역수 근과 두 방정식 연립)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 역수 근의 합 = (α+β)/(αβ), 역수 근의 곱 = 1/(αβ)
- 📐 1/α+1/β=−3 → −a/2 ÷ 1/2 = −a = −3 → a=3
- ⚠️ 1/(αβ)를 두 번째 방정식의 상수항과 연결하는 부호 주의
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(2x^2+ax+1=0\)의 두 근이 \(\alpha\), \(\beta\)이고,
이차방정식 \(x^2+3x-b=0\)의 두 근이 \(\dfrac{1}{\alpha}\), \(\dfrac{1}{\beta}\)일 때, \(a-b\)를 구하는 문제입니다.
🔑 역수 근의 합·곱 공식
\[\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} = \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\] \[\frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha\beta}\]
\[\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} = \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\] \[\frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha\beta}\]
✏️ 단계별 풀이
1
첫 번째 방정식 근과 계수의 관계
\(\alpha+\beta = -\dfrac{a}{2}\), \quad \(\alpha\beta = \dfrac{1}{2}\)
\(\alpha+\beta = -\dfrac{a}{2}\), \quad \(\alpha\beta = \dfrac{1}{2}\)
2
역수 근의 합·곱 계산
합: \(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta} = \dfrac{-a/2}{1/2} = -a\)
두 번째 방정식에서 합 = \(-3\) → \(-a=-3 \implies a=3\)
곱: \(\dfrac{1}{\alpha\beta} = \dfrac{1}{1/2} = 2\)
두 번째 방정식에서 곱 = \(-b\) → \(-b=2 \implies b=-2\)
합: \(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta} = \dfrac{-a/2}{1/2} = -a\)
두 번째 방정식에서 합 = \(-3\) → \(-a=-3 \implies a=3\)
곱: \(\dfrac{1}{\alpha\beta} = \dfrac{1}{1/2} = 2\)
두 번째 방정식에서 곱 = \(-b\) → \(-b=2 \implies b=-2\)
3
최종 계산
\[a-b = 3-(-2) = 5\]
\[a-b = 3-(-2) = 5\]
정답 : 5
🧠 외워두면 좋은 패턴
역수 근 이차방정식 초고속 공식
원래 방정식 \(ax^2+bx+c=0\)의 역수 근 방정식 → \(cx^2+bx+a=0\)
→ \(2x^2+ax+1\)의 역수 근 방정식: \(1\cdot x^2+ax+2=0\), 즉 \(x^2+ax+2=0\)
→ 두 번째 방정식 \(x^2+3x-b=0\)과 계수 비교: \(a=3\), \(-b=2 \to b=-2\)
원래 방정식 \(ax^2+bx+c=0\)의 역수 근 방정식 → \(cx^2+bx+a=0\)
→ \(2x^2+ax+1\)의 역수 근 방정식: \(1\cdot x^2+ax+2=0\), 즉 \(x^2+ax+2=0\)
→ 두 번째 방정식 \(x^2+3x-b=0\)과 계수 비교: \(a=3\), \(-b=2 \to b=-2\)
⚠️ 이런 실수 조심!
- 두 번째 방정식 x²+3x−b=0에서 “두 근의 곱=−b”임을 혼동 — 상수항이 −b이므로 근의 곱=−b/1=−b
- 1/(αβ) = 2이므로 −b=2 → b=−2 부호 주의
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
4분
수능·모의고사
3분
🖼️ 교재 해설 이미지
