쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
500번 · \(|a|\) 포함 복합 대칭식 조건 — 경우 분류로 \(a\) 값의 합
— \(a<0\)과 \(a\geq0\) 경우를 분리해서 풀어야 합니다!
난이도 : 상
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (|a| 경우 분류 + 복잡한 대칭식 처리)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 α+β, αβ로 주어진 대칭식 정리 → |a|를 경우 분류
- 📐 a<0: 6a²+5a−4=0 → a=−4/3, a≥0: 2a²−7a−4=0 → a=4
- ⚠️ 각 경우에서 구한 a가 조건(a<0 또는 a≥0)에 맞는지 반드시 검증!
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(x^2+(2|a|-1)x+a=0\)의 두 근 \(\alpha\), \(\beta\)에 대하여
\(\alpha^2\beta+\alpha\beta^2+\alpha^2+\beta^2+\alpha+\beta=6\)을 만족하는 모든 실수 \(a\)의 값의 합을 구하는 문제입니다.
💡 풀이 전략 — 2단계
① 복잡한 대칭식을 \(\alpha+\beta\), \(\alpha\beta\)로 정리
② \(|a|\)를 \(a<0\)과 \(a\geq0\)으로 경우 분류 후 각각 풀기
① 복잡한 대칭식을 \(\alpha+\beta\), \(\alpha\beta\)로 정리
② \(|a|\)를 \(a<0\)과 \(a\geq0\)으로 경우 분류 후 각각 풀기
✏️ 단계별 풀이
1
근과 계수의 관계
\(\alpha+\beta = 1-2|a|\), \quad \(\alpha\beta = a\)
\(\alpha+\beta = 1-2|a|\), \quad \(\alpha\beta = a\)
2
대칭식 정리
\[\alpha^2\beta+\alpha\beta^2 = \alpha\beta(\alpha+\beta)\] \[\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\] 따라서 주어진 식 = \(\alpha\beta(\alpha+\beta)+(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta+(\alpha+\beta)\)
\(=a(1-2|a|)+(1-2|a|)^2-2a+(1-2|a|)\)
\[\alpha^2\beta+\alpha\beta^2 = \alpha\beta(\alpha+\beta)\] \[\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\] 따라서 주어진 식 = \(\alpha\beta(\alpha+\beta)+(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta+(\alpha+\beta)\)
\(=a(1-2|a|)+(1-2|a|)^2-2a+(1-2|a|)\)
3
경우 분류
경우 ①: \(a<0\)이면 \(|a|=-a\)
정리하면: \(6a^2+5a-4=0 \implies (2a-1)(3a+4)… \to a=-\dfrac{4}{3}\) ✅ (\(a<0\) 만족)
경우 ②: \(a\geq0\)이면 \(|a|=a\)
정리하면: \(2a^2-7a-4=0 \implies (2a+1)(a-4)=0 \to a=4\) ✅ (\(a\geq0\) 만족, \(a=-1/2\) 제외)
경우 ①: \(a<0\)이면 \(|a|=-a\)
정리하면: \(6a^2+5a-4=0 \implies (2a-1)(3a+4)… \to a=-\dfrac{4}{3}\) ✅ (\(a<0\) 만족)
경우 ②: \(a\geq0\)이면 \(|a|=a\)
정리하면: \(2a^2-7a-4=0 \implies (2a+1)(a-4)=0 \to a=4\) ✅ (\(a\geq0\) 만족, \(a=-1/2\) 제외)
4
합 계산
\[-\frac{4}{3}+4 = \frac{8}{3}\]
\[-\frac{4}{3}+4 = \frac{8}{3}\]
정답 : ④ \(\dfrac{8}{3}\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
|a| 포함 문제 필수 루틴
① 절대값을 포함한 식은 반드시 a<0과 a≥0으로 분류
② 각 경우에서 방정식을 풀고 조건에 맞는 근만 선택
③ 두 경우의 해를 모아 합 계산
① 절대값을 포함한 식은 반드시 a<0과 a≥0으로 분류
② 각 경우에서 방정식을 풀고 조건에 맞는 근만 선택
③ 두 경우의 해를 모아 합 계산
⚠️ 이런 실수 조심!
- 각 경우에서 구한 a가 조건(a<0 또는 a≥0)을 만족하는지 검증하지 않는 실수
- 대칭식 정리 시 (α+β)²−2αβ 중 −2αβ를 빠뜨리는 실수
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
5분
수능·모의고사
4분
🖼️ 교재 해설 이미지
