쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
471번 · 중근 조건 \(a^2=b^2+1\) → 두 번째 방정식 근 판별
— 첫 번째 조건에서 얻은 관계식을 두 번째 판별식에 대입!
난이도 : 상
✍️ 서술형
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (연계 판별식 완전 정복)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 중근 조건 \(D_1=0\) → \(a^2=b^2+1\) 도출
- 📐 \(D_2/4=4(b^2+1)-(2b+1)\) 완전제곱식 변환
- ✍️ 서술형 채점 포인트 정리
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📹 풀이 영상
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(x^2-2ax+b^2+1=0\)이 중근을 가질 때,
이차방정식 \(x^2+4ax+2b+1=0\)의 근을 판별하는 서술형 문제입니다.
풀이 흐름
\(D_1=0\) 계산 → \(a^2=b^2+1\) 도출 → \(D_2/4\)에 대입 → \(D_2/4 > 0\) 확인
\(D_1=0\) 계산 → \(a^2=b^2+1\) 도출 → \(D_2/4\)에 대입 → \(D_2/4 > 0\) 확인
✏️ 단계별 풀이
1
중근 조건 \(D_1/4=0\) 으로 관계식 도출
\[\frac{D_1}{4} = (-a)^2-(b^2+1) = a^2-b^2-1 = 0\] \[\therefore\; a^2 = b^2+1\]
\[\frac{D_1}{4} = (-a)^2-(b^2+1) = a^2-b^2-1 = 0\] \[\therefore\; a^2 = b^2+1\]
2
두 번째 방정식의 \(D_2/4\) 계산
\(x^2+4ax+2b+1=0\)에서 \(b’=2a\), \(c=2b+1\): \[\frac{D_2}{4} = (2a)^2-(2b+1) = 4a^2-2b-1\]
\(x^2+4ax+2b+1=0\)에서 \(b’=2a\), \(c=2b+1\): \[\frac{D_2}{4} = (2a)^2-(2b+1) = 4a^2-2b-1\]
3
\(a^2=b^2+1\) 대입 후 부호 판별
\[\frac{D_2}{4} = 4(b^2+1)-(2b+1) = 4b^2-2b+3\] 완전제곱식 변환: \[= 4\left(b-\frac{1}{4}\right)^2 + \frac{11}{4} > 0 \quad \text{(항상 양수!)}\]
\[\frac{D_2}{4} = 4(b^2+1)-(2b+1) = 4b^2-2b+3\] 완전제곱식 변환: \[= 4\left(b-\frac{1}{4}\right)^2 + \frac{11}{4} > 0 \quad \text{(항상 양수!)}\]
정답 : 서로 다른 두 실근을 갖는다 (\(D_2/4 > 0\))
✍️ 서술형 답안 작성 포인트
① \(D_1/4=a^2-b^2-1=0\) → \(a^2=b^2+1\) 도출 (채점 필수!)
② \(D_2/4=4a^2-2b-1\) 설정 과정
③ \(a^2=b^2+1\) 대입 → \(4b^2-2b+3\) 정리
④ 완전제곱식으로 변환해 \(>0\) 증명 또는 판별식이 음수임을 이용
⑤ “서로 다른 두 실근” 결론 명시
② \(D_2/4=4a^2-2b-1\) 설정 과정
③ \(a^2=b^2+1\) 대입 → \(4b^2-2b+3\) 정리
④ 완전제곱식으로 변환해 \(>0\) 증명 또는 판별식이 음수임을 이용
⑤ “서로 다른 두 실근” 결론 명시
🧠 외워두면 좋은 패턴
두 방정식 연계 판별 3단계
① 첫 번째 방정식의 판별식 조건에서 계수 관계식 도출
② 두 번째 방정식의 판별식을 설정하고 ①의 관계식 대입
③ 완전제곱식으로 변환하거나 최솟값 계산으로 부호 결정
완전제곱식 + 양수 → 항상 \(>0\), 완전제곱식 + 양수 \(\geq 0\) → 항상 실근
① 첫 번째 방정식의 판별식 조건에서 계수 관계식 도출
② 두 번째 방정식의 판별식을 설정하고 ①의 관계식 대입
③ 완전제곱식으로 변환하거나 최솟값 계산으로 부호 결정
완전제곱식 + 양수 → 항상 \(>0\), 완전제곱식 + 양수 \(\geq 0\) → 항상 실근
⚠️ 이런 실수 조심!
- \(a^2=b^2+1\)을 \(D_2\)에 대입하지 않고 일반적으로 풀려는 실수 — 반드시 관계식을 대입해야 부호를 결정할 수 있습니다.
- \(4b^2-2b+3\)을 완전제곱식으로 변환하는 과정 생략 — 이차식의 최솟값이 \(>0\)임을 증명해야 채점이 완성됩니다.
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 서술형
5분
수능·모의고사
3분
🖼️ 교재 해설 이미지
