쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
469번 · 계수 조건 \(b=a-c\) → 실근 판별
— \(b=a-c\)를 판별식에 대입하면 \((a+c)^2 \geq 0\)이 나타납니다!
난이도 : 중
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (계수 조건 대입 → 완전제곱식 판별)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 주어진 조건을 판별식에 대입하는 전략
- 📐 \(D=b^2+4ac=(a+c)^2 \geq 0\) 전개 과정
- ⚠️ 완전제곱식 \(\geq 0\)의 의미
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📹 풀이 영상
📌 문제 핵심 파악
실수 \(a, b, c\)에 대하여 \(b = a – c\)일 때, 이차방정식 \(ax^2 – bx – c = 0\)의 근을 판별하는 문제입니다.
💡 핵심 전략 — 조건을 판별식에 직접 대입!
이 유형의 핵심은 주어진 계수 조건(\(b=a-c\))을 판별식 \(D\)에 대입해서
\(D\)의 부호를 결정하는 것입니다.
결과가 완전제곱식이 되면 항상 \(\geq 0\)이므로 실근을 갖습니다.
이 유형의 핵심은 주어진 계수 조건(\(b=a-c\))을 판별식 \(D\)에 대입해서
\(D\)의 부호를 결정하는 것입니다.
결과가 완전제곱식이 되면 항상 \(\geq 0\)이므로 실근을 갖습니다.
✏️ 단계별 풀이
1
판별식 \(D\) 설정
\(ax^2-bx-c=0\)에서 \(a=a\), \(b’=-b\), \(c’=-c\)이므로: \[D = (-b)^2 – 4 \cdot a \cdot (-c) = b^2 + 4ac\]
\(ax^2-bx-c=0\)에서 \(a=a\), \(b’=-b\), \(c’=-c\)이므로: \[D = (-b)^2 – 4 \cdot a \cdot (-c) = b^2 + 4ac\]
2
조건 \(b=a-c\) 대입
\[D = (a-c)^2 + 4ac = a^2 – 2ac + c^2 + 4ac = a^2 + 2ac + c^2\] \[= (a+c)^2\]
\[D = (a-c)^2 + 4ac = a^2 – 2ac + c^2 + 4ac = a^2 + 2ac + c^2\] \[= (a+c)^2\]
3
부호 판단
\(D = (a+c)^2 \geq 0\) (완전제곱식은 항상 0 이상)
→ 실근을 가집니다 ✅
\(D = (a+c)^2 \geq 0\) (완전제곱식은 항상 0 이상)
→ 실근을 가집니다 ✅
정답 : ① 항상 실근을 갖는다 (\(D=(a+c)^2 \geq 0\))
🧠 외워두면 좋은 패턴
계수 조건 대입 → 완전제곱식 변환 패턴
“조건이 주어진 판별식” 문제의 풀이 루틴:
① \(D\)를 계수로 표현
② 주어진 조건을 \(D\)에 대입
③ 완전제곱식으로 인수분해 → 부호 즉시 판별
완전제곱식 \(\geq 0\) → 실근, 완전제곱식 \(\leq 0\) → 중근 또는 허근
“조건이 주어진 판별식” 문제의 풀이 루틴:
① \(D\)를 계수로 표현
② 주어진 조건을 \(D\)에 대입
③ 완전제곱식으로 인수분해 → 부호 즉시 판별
완전제곱식 \(\geq 0\) → 실근, 완전제곱식 \(\leq 0\) → 중근 또는 허근
⚠️ 이런 실수 조심!
- \(ax^2-bx-c\)에서 판별식을 \(b^2-4ac\)로 계산하는 실수 — \(ax^2-bx-c\)의 계수는 \(a=a, b=-b, c=-c\)이므로 \(D=(-b)^2-4a(-c)=b^2+4ac\)입니다.
- \((a-c)^2+4ac = (a+c)^2\)으로 변환하지 못하는 실수 — 중간항 \(+4ac\)가 \(-2ac\)를 \(+2ac\)로 바꿔주는 핵심!
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
2분
수능·모의고사
1분 30초
🖼️ 교재 해설 이미지
