쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
467번 · 실근 조건 + 이차방정식 조건 — \(k\) 범위 서술형
— \(k^2-1\neq0\) 조건을 놓치면 오답!
난이도 : 상
✍️ 서술형
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (이차방정식 존재 조건 + D≥0 연립)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 최고차 계수 ≠ 0 조건이 왜 필수인지
- 🔍 \(D/4=2k+2 \geq 0\) 조건 → \(k \geq -1\)
- ✍️ 서술형 채점 포인트 체크
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📹 풀이 영상
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \((k^2-1)x^2 – 2(k+1)x + 1 = 0\)이 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하는 서술형 문제입니다.
🗝️ 이 문제의 함정 — 이차방정식 조건 먼저!
최고차 계수 \(k^2-1 \neq 0\) → \(k \neq \pm 1\)
이 조건을 빠뜨리면 \(k=-1\)이 포함되어 오답이 됩니다.
실근 조건 판별식은 그 다음 단계입니다.
최고차 계수 \(k^2-1 \neq 0\) → \(k \neq \pm 1\)
이 조건을 빠뜨리면 \(k=-1\)이 포함되어 오답이 됩니다.
실근 조건 판별식은 그 다음 단계입니다.
✏️ 단계별 풀이
1
이차방정식 조건: \(k^2-1 \neq 0\)
\[k \neq 1 \quad\text{이고}\quad k \neq -1\]
\[k \neq 1 \quad\text{이고}\quad k \neq -1\]
2
실근 조건: \(D/4 \geq 0\)
\[\frac{D}{4} = (k+1)^2 – (k^2-1)\cdot 1 = k^2+2k+1-k^2+1 = 2k+2\] \[2k+2 \geq 0 \implies k \geq -1\]
\[\frac{D}{4} = (k+1)^2 – (k^2-1)\cdot 1 = k^2+2k+1-k^2+1 = 2k+2\] \[2k+2 \geq 0 \implies k \geq -1\]
3
두 조건의 교집합
\(k \geq -1\)에서 \(k \neq -1\), \(k \neq 1\) 제외:
\[-1 < k < 1 \quad\text{또는}\quad k > 1\]
\(k \geq -1\)에서 \(k \neq -1\), \(k \neq 1\) 제외:
\[-1 < k < 1 \quad\text{또는}\quad k > 1\]
정답 : \(-1 < k < 1\) 또는 \(k > 1\)
✍️ 서술형 답안 작성 포인트
① 최고차 계수 \(k^2-1 \neq 0\) 조건 명시 ← 가장 중요한 첫 번째 포인트!
② 실근 조건 \(D/4 \geq 0\) 계산 과정 서술
③ \(k \geq -1\)에서 \(k \neq \pm 1\) 제외한 최종 범위 명시
④ 수직선 또는 부등식 표현으로 답 제시
② 실근 조건 \(D/4 \geq 0\) 계산 과정 서술
③ \(k \geq -1\)에서 \(k \neq \pm 1\) 제외한 최종 범위 명시
④ 수직선 또는 부등식 표현으로 답 제시
🧠 외워두면 좋은 패턴
최고차 계수가 문자인 이차방정식 — 필수 2단계
최고차 계수 조건을 먼저 확인하지 않으면 이차방정식이 아닐 수 있습니다!
- 최고차 계수 ≠ 0 확인 (이차방정식 조건)
- 판별식 조건 적용 (실근: \(D \geq 0\), 허근: \(D < 0\), 중근: \(D=0\))
최고차 계수 조건을 먼저 확인하지 않으면 이차방정식이 아닐 수 있습니다!
⚠️ 이런 실수 조심!
- \(k^2-1=0\) 조건(이차방정식 조건)을 빠뜨리는 실수 — \(k=\pm1\)에서는 이차방정식이 아닙니다.
- \(D/4\) 계산 중 \((k+1)^2 – (k^2-1)\) 전개 실수 — \(-(k^2-1)=-k^2+1\) 부호 주의.
- 최종 답에서 \(k=1\)을 포함시키는 실수 — \(k=1\)이면 최고차 계수 0이므로 제외!
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 서술형
4분
수능·모의고사
3분
🖼️ 교재 해설 이미지
