쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
449번 · 두 방정식 연쇄 미정계수 결정 — \(ak\) 구하기
— 첫 번째 방정식으로 \(a\) 결정 → 두 번째 방정식으로 \(k\) 결정
난이도 : 상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (연쇄 대입 전략)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔍 두 방정식에서 순서대로 미정계수 결정하는 흐름
- 💡 구한 \(a\)를 두 번째 방정식 근으로 쓰는 이유
- ⚠️ 순서 혼동으로 인한 실수 방지
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📹 풀이 영상
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(x^2 + (a-1)x – 5a = 0\)의 한 근이 \(-5\)이고,
이차방정식 \(kx^2 – 7x + k + 1 = 0\)의 한 근이 \(a\)일 때, \(ak\)의 값을 구하는 문제입니다.
①방정식에 \(x=-5\) 대입
→
\(a\) 결정
→
②방정식에 \(x=a\) 대입
→
\(k\) 결정
→
\(ak\)
💡 단서는 여기에 있어요!
두 미정계수 \(a\), \(k\)가 있지만 두 방정식이 순서대로 연결되어 있어요.
→ 첫 번째 방정식에 \(x=-5\)를 대입해 \(a\)부터 구하기
→ 구한 \(a\) 값이 두 번째 방정식의 근이므로 \(x=a\)를 대입해 \(k\) 결정
순서만 지키면 각각 일차방정식으로 쉽게 풀립니다!
두 미정계수 \(a\), \(k\)가 있지만 두 방정식이 순서대로 연결되어 있어요.
→ 첫 번째 방정식에 \(x=-5\)를 대입해 \(a\)부터 구하기
→ 구한 \(a\) 값이 두 번째 방정식의 근이므로 \(x=a\)를 대입해 \(k\) 결정
순서만 지키면 각각 일차방정식으로 쉽게 풀립니다!
✏️ 단계별 풀이
1
첫 번째 방정식에 \(x=-5\) 대입 → \(a\) 결정
\[(-5)^2 + (a-1)(-5) – 5a = 0\] \[25 – 5a + 5 – 5a = 0\] \[30 – 10a = 0\] \[a = 3\]
\[(-5)^2 + (a-1)(-5) – 5a = 0\] \[25 – 5a + 5 – 5a = 0\] \[30 – 10a = 0\] \[a = 3\]
2
두 번째 방정식에 \(x = a = 3\) 대입 → \(k\) 결정
\[k(3)^2 – 7(3) + k + 1 = 0\] \[9k – 21 + k + 1 = 0\] \[10k = 20\] \[k = 2\]
\[k(3)^2 – 7(3) + k + 1 = 0\] \[9k – 21 + k + 1 = 0\] \[10k = 20\] \[k = 2\]
3
최종 답 계산
\[ak = 3 \times 2 = 6\]
\[ak = 3 \times 2 = 6\]
정답 : \(ak = 6\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
연쇄 미정계수 결정 루틴
여러 미정계수가 연결된 문제는 앞에서부터 하나씩 결정해 나가는 것이 핵심!
① 주어진 근을 해당 방정식에 대입 → 첫 번째 미지수 결정
② 결정된 값을 다음 방정식에 근으로 대입 → 두 번째 미지수 결정
③ 구한 값으로 최종 식 계산
각 단계에서 나오는 방정식은 일차방정식이어서 부담이 없습니다.
여러 미정계수가 연결된 문제는 앞에서부터 하나씩 결정해 나가는 것이 핵심!
① 주어진 근을 해당 방정식에 대입 → 첫 번째 미지수 결정
② 결정된 값을 다음 방정식에 근으로 대입 → 두 번째 미지수 결정
③ 구한 값으로 최종 식 계산
각 단계에서 나오는 방정식은 일차방정식이어서 부담이 없습니다.
⚠️ 이런 실수 조심!
- \(a\)를 구한 뒤 두 번째 방정식에 대입하지 않고 끝내는 실수 — 문제가 \(ak\)를 묻고 있음을 항상 확인!
- \((-5)^2 = -25\)로 잘못 계산 — 음수의 제곱은 반드시 양수입니다.
- \((a-1)(-5)\)에서 \(-5a+5\)가 아닌 \(-5a-5\)로 쓰는 부호 실수 — \((-1) \times (-5) = +5\)!
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
2분 30초
수능·모의고사
2분
⚡ 각 대입 후 나오는 일차방정식을 빠르게 정리하는 연산 속도가 시간을 좌우합니다. 대입 즉시 전개·정리를 동시에 하는 연습이 필요합니다.
🖼️ 교재 해설 이미지
