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이차방정식의 근과 행렬 거듭제곱의 합
TOUGH │ 마플시너지 공통수학1 13단원📋 문제 요약
이차방정식 x²−2x+2=0의 두 근 α, β로 정의된 행렬 A에 대해, A+A²+A³+…+Aⁿ의 모든 성분의 합이 100이 되는 자연수 n의 값을 구하는 문제입니다.
정답
③ 50
🔑 핵심 단서
근과 계수의 관계로 α+β=2, αβ=2를 얻고, 행렬 A의 각 성분을 곱셈공식으로 정리하면 A가 실제로는 매우 간단한 행렬임을 알 수 있습니다. β/α+α/β=0, 1/α+1/β=1이므로 A=[[0,0],[1,1]]이 됩니다. A²=A³=…=Aⁿ=A이므로 합은 nA이고, 모든 성분의 합=2n=100에서 n=50입니다.
🧭 풀이 전략
STEP A 근과 계수의 관계 + 곱셈공식으로 행렬 A의 성분 정리 → A=[[0,0],[1,1]]
STEP B A²=AA를 직접 계산 → A²=A 확인. 따라서 Aⁿ=A(n≥1)
STEP C A+A²+…+Aⁿ=nA. 모든 성분의 합=n(0+0+1+1)=2n=100 → n=50
핵심은 α, β의 대칭식을 정확히 계산하여 행렬의 성분을 수로 바꾸는 것입니다. A²=A인 성질(멱등행렬)이 발견되면 이후 계산은 매우 간단해집니다.
🖼️ 해설 이미지
🎬 해설 영상
⚠️ 자주 하는 실수
🚫 주의할 점
- β/α+α/β=(α²+β²)/(αβ)에서 α²+β²=(α+β)²−2αβ=4−4=0이므로 이 값이 0이 됩니다. 양수일 것이라는 선입견에 주의하세요.
- A²=A(멱등행렬)임을 반드시 직접 곱셈으로 확인해야 합니다. 규칙을 추정만 하고 넘어가면 감점 위험이 있습니다.
- 모든 성분의 합에서 0인 성분도 포함하여 계산해야 합니다. n(0+0+1+1)=2n입니다.