마플시너지공수1답지 1114번 서술형 대칭식·곱셈공식 활용 핵심 포인트

1114번은 7단원 고차방정식 서술형 기출유형(최다빈출)으로, 연립방정식 x²+y²=13, x³+y³=35에서 대칭식의 성질을 이용하여 x+y, xy를 구하고 a²+b²의 값을 구하는 문제입니다.

① 1단계 · x+y=a, xy=b로 놓고 a, b에 대한 식 세우기 [3점] — x²+y²=(x+y)²−2xy=a²−2b=13 ⋯ ⓐ. x³+y³=(x+y)³−3xy(x+y)=a³−3ab=35 ⋯ ⓑ.

② 2단계 · a, b의 값 구하기 [5점] — ⓐ에서 b=(a²−13)/2 ⋯ ⓒ. ⓒ을 ⓑ에 대입하면 a³−3a·(a²−13)/2=35, 2a³−3a³+39a=70, −a³+39a−70=0, a³−39a+70=0. a=2를 대입하면 8−78+70=0이므로 a=2는 근. 조립제법으로 (a−2)(a²+2a−35)=0, (a−2)(a+7)(a−5)=0. 따라서 a=2, −7, 5.

ⓒ에서 각각 b=(4−13)/2=−9/2, b=(49−13)/2=18, b=(25−13)/2=6. 실수 x, y가 존재하려면 t에 대한 이차방정식 t²−at+b=0의 판별식 D=a²−4b≥0. a=2일 때 D=4+18=22>0 ✓, a=−7일 때 D=49−72=−23<0 ✗, a=5일 때 D=25−24=1>0 ✓.

③ 3단계 · a²+b² 구하기 [2점]

(ⅰ) a=2, b=−9/2일 때 a²+b²=4+81/4=97/4. (ⅱ) a=5, b=6일 때 a²+b²=25+36=61.

문제에서 x, y가 자연수(양의 정수)인 경우를 묻거나 정수해를 묻는다면 a=5, b=6이고 a²+b²=61. 자세한 조건은 아래 답지와 영상을 확인하세요.

정답: 61.