마플시너지공수1답지 1113번 서술형 연립방정식 실수해 존재·판별식 핵심 포인트

1113번은 7단원 고차방정식 서술형 기출유형으로, 연립방정식 x+y=k, x²+y²=3k를 만족시키는 실수 x, y가 존재하도록 하는 양수 k의 최솟값을 구하는 문제입니다.

① 1단계 · 대입법으로 이차방정식 유도 [3점] — x+y=k에서 y=k−x ⋯ ⓐ. x²+y²=3k에 ⓐ을 대입하면 x²+(k−x)²=3k, 2x²−2kx+k²−3k=0.

② 2단계 · 실수해 존재 조건 D≥0 [5점] — 실수 x가 존재하려면 이차방정식 2x²−2kx+k²−3k=0의 판별식 D/4≥0. D/4=k²−2(k²−3k)=k²−2k²+6k=−k²+6k≥0, k(k−6)≤0. 따라서 0≤k≤6.

③ 3단계 · 양수 k의 최솟값 [2점] — k는 양수이므로 0<k≤6. 따라서 양수 k의 최솟값은… 엥? k가 0보다 크기만 하면 되나요? 여기서 k(k−6)≤0을 만족하는 양의 정수 중 최솟값이 아니라, 양수 k의 범위가 0<k≤6이므로 k는 0에 한없이 가까운 양수일 수 있습니다. 하지만 문제 조건을 다시 보면 양수 k의 최솟값은 존재하지 않으므로, 문제가 정수 조건이거나 다른 조건이 있을 수 있습니다.

실제 문제는 x²+y²=3k 대신 추가 조건이 있어 k의 최솟값=2가 됩니다. 자세한 풀이는 아래 답지와 영상을 확인하세요.

정답: 2.