마플시너지공수1답지 0917번 서술형 두 함수 교점·근과 계수 핵심 포인트

0917번은 6단원 이차함수의 최대와 최소 서술형 기출유형이자 최다빈출 왕중요 내신연계문제로, 최고차항의 계수가 2인 이차함수 y = f(x)와 직선 y = g(x)가 두 점 (α, f(α)), (β, f(β))에서 만날 때, g(x) − f(x)의 최댓값 조건으로 α³ + β³ + α² + β²를 구하는 문제입니다. 이차함수의 꼭짓점과 근과 계수의 관계를 연결하는 융합 사고력이 핵심입니다.

발상 포인트: ① g(x) − f(x)의 식 결정 — 직선 g(x)는 일차식이고 f(x)는 최고차항의 계수가 2인 이차함수이므로, g(x) − f(x)는 최고차항의 계수가 −2인 이차함수입니다. x = 2에서 최댓값 4를 가지므로 g(x) − f(x) = −2(x − 2)² + 4 = −2x² + 8x − 4입니다.

② 교점의 x좌표가 g(x) − f(x) = 0의 근 — 두 함수가 x = α, x = β에서 만나므로, −2x² + 8x − 4 = 0의 두 근이 α, β입니다. 근과 계수의 관계에서 α + β = 4, αβ = 2입니다. ③ 거듭제곱 합 계산 — α³ + β³ = (α + β)³ − 3αβ(α + β) = 64 − 24 = 40이고, α² + β² = (α + β)² − 2αβ = 16 − 4 = 12이므로, α³ + β³ + α² + β² = 40 + 12 = 52입니다.