📋 문제 핵심 파악
주어진 것: 이차방정식 x² – 2x + 2 = 0의 두 근 α, β
구하는 것: α²β̄ + ᾱβ²의 값 (β̄, ᾱ는 켤레복소수)
🔥 핵심 원리
실수 계수 → 두 근은 켤레복소수!
α = 1 + i, β = 1 – i이면 β̄ = α, ᾱ = β
📚 이 문제의 핵심 개념
🔑 두 근 구하기
x² – 2x + 2 = 0
근의 공식:
x = (2 ± √(4-8))/2 = (2 ± √(-4))/2
x = (2 ± 2i)/2 = 1 ± i
∴ α = 1 + i, β = 1 – i
🔑 핵심 관찰: 켤레복소수 관계
α = 1 + i의 켤레 → ᾱ = 1 – i = β
β = 1 – i의 켤레 → β̄ = 1 + i = α
즉, ᾱ = β, β̄ = α (두 근이 서로 켤레!)
🔑 식 변환
α²β̄ + ᾱβ²
= α²·α + β·β² (∵ β̄ = α, ᾱ = β)
= α³ + β³
🔑 α³ + β³ 계산
근과 계수의 관계:
α + β = 2, αβ = 2
α³ + β³ = (α + β)³ – 3αβ(α + β)
= 2³ – 3·2·2
= 8 – 12
= -4
✅ 직접 계산으로 검산
α = 1+i, β = 1-i
α² = (1+i)² = 1 + 2i + i² = 1 + 2i – 1 = 2i
β² = (1-i)² = 1 – 2i + i² = 1 – 2i – 1 = -2i
α³ = α²·α = 2i(1+i) = 2i + 2i² = 2i – 2 = -2 + 2i
β³ = β²·β = -2i(1-i) = -2i + 2i² = -2i – 2 = -2 – 2i
α³ + β³ = (-2+2i) + (-2-2i) = -4 ✓
📝 문제 풀이 (답지)
📖 마플시너지 공통수학1 5단원 답지
🎬 영상 풀이
⚡ 빠르게 푸는 핵심 포인트
- STEP 1: 두 근이 켤레 → β̄ = α, ᾱ = β
- STEP 2: α²β̄ + ᾱβ² = α³ + β³으로 변환
- STEP 3: α + β = 2, αβ = 2
- STEP 4: α³ + β³ = 8 – 12 = -4
- 정답: -4
⚠️ 자주 하는 실수 TOP 3
- 실수 1: β̄ = α, ᾱ = β 관계를 파악하지 못함
- 실수 2: α³ + β³ 공식 적용 시 부호 실수
- 실수 3: i² = -1 계산 실수 (직접 계산 시)
🍯 TOUGH 문제 공략 꿀팁
- 핵심: 실수 계수 방정식의 두 근은 서로 켤레!
- 변환: ᾱ = β, β̄ = α로 식을 단순화
- α³ + β³ 공식: (α+β)³ – 3αβ(α+β)
- 검산: 직접 대입해서 확인하면 확실!