두 집합 A, B에 대하여 다음과 같은 합집합과 교집합의 기본 성질들이 성립해요.

• 1. 자기 자신과의 연산:
  • A ∪ A = A (A와 A를 합쳐도 A)
  • A ∩ A = A (A와 A의 공통부분은 A)
• 2. 공집합(∅)과의 연산:
  • A ∪ ∅ = A (A에 아무것도 없는 것을 합쳐도 A)
  • A ∩ ∅ = ∅ (A와 아무것도 없는 것의 공통부분은 없음)
• 3. 흡수법칙 (하나가 다른 하나에 포함될 때):
  • A ∪ (A ∩ B) = A
  • A ∩ (A ∪ B) = A
  • (이것은 A ∩ B ⊂ A이고 A ⊂ A ∪ B이기 때문에 성립해요. )

이 성질들은 벤다이어그램을 그려보면 아주 직관적으로 이해할 수 있답니다!

개념정리 152-1: 변함없는 나 자신!

어떤 집합 A가 있을 때, 이 집합 A와 자기 자신을 합집합하거나 교집합하면 어떻게 될까요?

• A ∪ A = A:
  집합 A의 모든 원소와 집합 A의 모든 원소를 합쳐도, 결국 집합 A의 원소들만 남겠죠? (같은 원소는 한 번만 쓰니까요!)
• A ∩ A = A:
  집합 A와 집합 A의 공통된 원소는 당연히 집합 A의 모든 원소들 자신입니다.

이것은 마치 “나 더하기 나는 여전히 나” 또는 “나와 나의 공통점은 바로 나 자신”이라고 말하는 것과 비슷해요! 😄

개념정리 152-2: 아무것도 없는 것과의 관계!

원소가 하나도 없는 특별한 집합, 공집합(∅)과 임의의 집합 A를 연산하면 어떤 결과가 나올까요?

• A ∪ ∅ = A:
  집합 A에 아무 원소도 없는 공집합을 합쳐도, 집합 A는 변하지 않아요. (있는 것에 없는 것을 더해도 그대로죠!)
• A ∩ ∅ = ∅:
  집합 A와 원소가 하나도 없는 공집합 사이에는 공통된 원소가 있을 수 없겠죠? 따라서 교집합은 항상 공집합이 됩니다.

개념정리 152-3: 큰 것이 작은 것을 흡수! (벤다이어그램으로 이해!)

두 집합 A와 B에 대하여 다음과 같은 재미있는 성질이 성립하는데, 이를 흡수법칙이라고도 불러요. 이 성질은 벤다이어그램을 그려보면 아주 명확하게 이해할 수 있습니다.

• A ∪ (A ∩ B) = A:
  먼저 A ∩ B는 집합 A와 B의 공통부분이죠. 이 공통부분은 당연히 집합 A에 포함됩니다 (A ∩ B ⊂ A).
  따라서 집합 A와 (A의 일부분인) A ∩ B를 합집합하면, 그 결과는 더 큰 범위인 집합 A가 됩니다.
  벤다이어그램으로 A와 A∩B를 표시하고, 이 둘의 합집합이 A가 됨을 보여주는 그림
• A ∩ (A ∪ B) = A:
  먼저 A ∪ B는 집합 A와 집합 B를 모두 합친 것이죠. 집합 A는 당연히 이 합집합에 포함됩니다 (A ⊂ A ∪ B).
  따라서 집합 A와 (A를 포함하는 더 큰 집합인) A ∪ B의 공통부분을 찾으면, 그 결과는 더 작은 범위인 집합 A가 됩니다.
  벤다이어그램으로 A와 A∪B를 표시하고, 이 둘의 교집합이 A가 됨을 보여주는 그림

이처럼 포함 관계가 있는 두 집합을 합집합하거나 교집합하면, 그 결과는 두 집합 중 하나가 되는 경우가 많답니다!