147 서로 같은 집합과 진부분집합: 똑같거나 진짜 포함되거나! 🟰⊂
안녕하세요, 집합의 관계를 더 깊이 탐구하는 친구들! 👋 지난 시간에는 한 집합이 다른 집합에 포함되는 ‘부분집합’에 대해 배웠어요. 오늘은 이 부분집합의 개념을 바탕으로, 두 집합이 완전히 똑같은 경우(서로 같은 집합)는 무엇을 의미하는지, 그리고 한 집합이 다른 집합에 진짜로 포함되면서 자기 자신은 아닌 경우(진부분집합)는 무엇인지 알아볼 거예요. 이 두 개념은 부분집합의 관계를 더 세밀하게 이해하는 데 도움이 된답니다! 함께 그 차이점을 명확히 살펴볼까요? 🤔
📝 핵심만정리: 서로 같은 집합과 진부분집합!
- 서로 같은 집합 (Equal Sets):
- 두 집합 A, B에 대하여 A ⊂ B 이고 동시에 B ⊂ A가 성립할 때, 두 집합 A와 B는 서로 같다고 해요.
- 기호로는 A = B와 같이 나타냅니다. (서로 같지 않으면 A ≠ B )
- 두 집합이 서로 같다는 것은 두 집합의 원소가 완전히 일치한다는 뜻이에요.
- 진부분집합 (Proper Subset):
- 두 집합 A, B에 대하여 A ⊂ B 이고 동시에 A ≠ B일 때, 집합 A를 집합 B의 진부분집합이라고 해요.
- 즉, A가 B에 포함되지만, B와 똑같지는 않은 (B보다 원소가 적어도 하나 적은) 부분집합을 의미합니다.
＝ 서로 같은 집합 (A=B): 원소가 완전히 일치!
개념정리 147-1: A가 B에, B가 A에 모두 포함될 때!
두 집합 A와 B가 서로 같다는 것은 어떤 의미일까요? 아주 간단하게 말하면, 두 집합에 들어있는 원소들이 하나도 빠짐없이 똑같다는 뜻이에요.
이것을 부분집합의 관계로 표현하면 다음과 같습니다:
A = B \iff (A ⊂ B \text{ 이고 } B ⊂ A)
즉, 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 속하고 (A ⊂ B), 동시에 집합 B의 모든 원소가 집합 A에도 속할 때 (B ⊂ A), 이 두 조건을 모두 만족하면 두 집합 A와 B는 서로 같다고 하고, 기호로 A=B라고 씁니다.
예시:
집합 A = {-1, 0, 1}
집합 B = {x | x는 x ≤ 1인 정수} → 원소나열법으로 나타내면 B = {…, -2, -1, 0, 1}이 됩니다. 어, 교재에는 $B=\{-1,0,1\}$로 되어있네요! $x \le 1$인 정수는 무한히 많으니 교재의 예시가 조건제시법과 원소나열법이 일치하지 않습니다.
교재의 B=\{-1,0,1\} (원소나열법)을 기준으로 설명하겠습니다.
만약 B = {-1, 0, 1}이라면,
- A의 모든 원소(-1, 0, 1)는 B에 속하므로 A ⊂ B입니다.
- B의 모든 원소(-1, 0, 1)는 A에 속하므로 B ⊂ A입니다.
- 따라서 A = B 입니다.
⊂ 진부분집합: 진짜 부분집합, 자기 자신은 빼고!
개념정리 147-2: A ⊂ B 이고 A ≠ B 일 때!
두 집합 A와 B에 대하여, 집합 A가 집합 B의 부분집합이면서(A ⊂ B), 동시에 집합 A가 집합 B와 같지는 않을 때(A ≠ B), 우리는 집합 A를 집합 B의 진부분집합(Proper Subset)이라고 불러요.
즉, 진부분집합은 부분집합 중에서 자기 자신을 제외한 나머지 부분집합들을 의미합니다. “진짜” 부분집합이라고 생각하면 쉽겠죠?
A가 B의 진부분집합이다 ⇔ (A ⊂ B 이고 A ≠ B)
예시:
집합 A = {-1, 0, 1}
집합 C = {-1, 1}
- 집합 C의 모든 원소(-1, 1)는 집합 A에 속하므로 C ⊂ A입니다.
- 하지만 집합 C는 집합 A와 원소가 완전히 같지는 않죠? (A에는 0이 있지만 C에는 없어요). 즉, C ≠ A입니다.
- 따라서 집합 C는 집합 A의 진부분집합입니다.
기호 ⊆와 ⊂의 차이? 🤔
때로는 부분집합을 나타낼 때 A \subseteq B (A는 B의 부분집합이다)와 A \subset B (A는 B의 진부분집합이다)로 구분하여 사용하기도 해요. 하지만 현재 교재에서는 A \subset B가 A가 B의 부분집합임을 의미하고 (A=B인 경우도 포함), 진부분집합은 “A \subset B이고 A \ne B“로 정의하고 있어요. 문제의 맥락이나 교재의 정의를 잘 따르는 것이 중요합니다!
🧐 개념확인 문제: 포함 관계와 종류 판별!
이제 배운 내용을 바탕으로 세 집합 사이의 포함 관계와 진부분집합 여부를 판단해 봅시다!
세 집합 A = {-1, 0, 1}, B = {x2 | x ∈ A}, C = {x | x2 – x = 0}에 대하여 다음 □ 안에 기호 ⊂, ⊃, = 중 알맞은 것을 써넣으시오. (PDF Check 1 문제)
- A □ B
- B □ C
- C □ A
정답 및 해설:
먼저 각 집합을 원소나열법으로 나타내면:
A = {-1, 0, 1}
B = {(-1)2, 02, 12} = {1, 0, 1} = {0, 1}
C = {x | x(x-1) = 0} = {0, 1}
- A □ B:
B의 모든 원소(0, 1)는 A에 속하지만, A의 원소 -1은 B에 속하지 않으므로, A는 B의 부분집합이 아니고 B가 A의 부분집합입니다.
따라서 A ⊃ B (또는 B ⊂ A). (B는 A의 진부분집합입니다.) - B □ C:
B의 원소는 {0, 1}이고, C의 원소도 {0, 1}입니다. 두 집합의 원소가 완전히 일치합니다.
따라서 B = C. - C □ A:
C의 모든 원소(0, 1)는 A에 속하고, C는 A와 같지 않으므로 C는 A의 진부분집합입니다.
따라서 C ⊂ A.
오늘은 두 집합이 서로 같을 조건(A \subset B이고 B \subset A)과, 한 집합이 다른 집합에 포함되면서 자기 자신은 아닌 경우를 의미하는 진부분집합의 정의에 대해 배웠습니다. 이 두 개념은 부분집합의 관계를 더 명확하게 이해하는 데 도움이 되죠? 집합의 포함 관계를 따질 때는 각 집합의 원소를 정확히 파악하는 것이 중요합니다! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 집합의 부분집합이 총 몇 개나 되는지, 그 개수를 세는 방법에 대해 알아보겠습니다. 🔢