146 부분집합이란? 집합 사이의 포함 관계! 🎁
안녕하세요, 집합의 관계를 탐구하는 친구들! 👋 지난 시간에는 집합의 기본적인 뜻과 표현 방법에 대해 알아보았죠? 오늘은 두 집합 사이의 중요한 관계 중 하나인 부분집합에 대해 배울 거예요. 어떤 집합이 다른 집합에 ‘쏙’ 포함될 때, 우리는 그 집합을 다른 집합의 부분집합이라고 부른답니다. 마치 큰 상자 안에 작은 상자가 들어있는 모습과 같아요! 이 부분집합의 정확한 정의와 어떤 성질들이 있는지 함께 살펴볼까요? 📦
📝 핵심만정리: 부분집합, 이렇게 이해해요!
- 부분집합 (Subset):
- 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 속할 때, 즉 “x ∈ A이면 x ∈ B이다”가 성립할 때, 집합 A를 집합 B의 부분집합이라고 해요.
- 기호로는 A ⊂ B 또는 B ⊃ A와 같이 나타냅니다. (A는 B에 포함된다, 또는 B는 A를 포함한다)
- 만약 A가 B의 부분집합이 아니라면 A ¬⊂ B로 나타내요.
- 부분집합의 기본 성질:
- 모든 집합은 자기 자신의 부분집합이다: A ⊂ A
- 공집합(∅)은 모든 집합의 부분집합이다: ∅ ⊂ A
- 삼단논법과 유사: A ⊂ B 이고 B ⊂ C 이면 ⇒ A ⊂ C
🤔 부분집합이란 무엇일까요? (포함되는 관계!)
개념정리 146-1: 한 집합이 다른 집합에 쏙!
두 집합 A와 B가 있을 때, 만약 집합 A에 속하는 모든 원소가 하나도 빠짐없이 집합 B에도 속한다면, 우리는 “집합 A는 집합 B의 부분집합이다”라고 말해요. 이것은 마치 집합 A가 집합 B 안에 완전히 포함되어 있는 모습을 상상하면 됩니다.
이 관계를 기호로는 다음과 같이 나타냅니다:
A ⊂ B 또는 B ⊃ A
읽을 때는 “A는 B의 부분집합이다”, “A는 B에 포함된다”, 또는 “B는 A를 포함한다”라고 읽어요.
만약 집합 A의 원소 중에서 집합 B에 속하지 않는 원소가 단 하나라도 있다면, 집합 A는 집합 B의 부분집합이 아니라고 하고, 기호로는 A ¬⊂ B와 같이 나타냅니다.
예시:
집합 A = {1, 2}이고, 집합 B = {1, 2, 3, 4}라고 해봅시다.
- 집합 A의 모든 원소(1과 2)는 집합 B에도 속하죠? 따라서 A ⊂ B 입니다.
집합 B 안에 집합 A가 포함된 벤다이어그램
- 반대로, 집합 B의 원소 중에는 (예를 들어 3 또는 4) 집합 A에 속하지 않는 것이 있으므로, B ¬⊂ A 입니다.
원소(∈) vs 부분집합(⊂) 기호 구분! ⚠️
원소와 집합 사이의 포함 관계를 나타내는 기호 ∈ (또는 ∉)과, 두 집합 사이의 포함 관계를 나타내는 기호 ⊂ (또는 ¬⊂)은 반드시 구분해서 사용해야 해요!
예: A = {1, 2}일 때, 1 ∈ A는 맞지만, {1} ∈ A는 틀리고 {1} ⊂ A가 맞습니다.
✨ 부분집합의 기본 성질 세 가지!
개념정리 146-2: 꼭 기억해야 할 규칙들!
부분집합에 관해서는 다음과 같은 세 가지 중요한 기본 성질이 항상 성립해요.
1. 공집합(∅)은 모든 집합의 부분집합이다.
∅ ⊂ A (임의의 집합 A에 대하여)
공집합은 원소가 하나도 없는 집합이죠? 어떤 집합 A를 가져와도, 공집합의 ‘모든’ 원소(사실은 아무것도 없지만)가 A에 속한다는 명제는 참으로 받아들여집니다. (반례를 들 수 없기 때문이에요!)
2. 모든 집합은 자기 자신의 부분집합이다.
A ⊂ A (임의의 집합 A에 대하여)
집합 A의 모든 원소는 당연히 집합 A에 속하겠죠? 그래서 모든 집합은 자기 자신의 부분집합이 됩니다.
3. 세 집합 A, B, C에 대하여, A ⊂ B 이고 B ⊂ C 이면 A ⊂ C 이다.
만약 A가 B에 포함되고, B가 다시 C에 포함된다면, 당연히 A도 C에 포함되겠죠? 마치 상자 안에 상자, 그 안에 또 상자가 들어있는 모습과 같아요. 이것은 마치 명제에서의 삼단논법과 비슷한 성질입니다.
🧐 개념확인 문제: 부분집합 모두 찾기!
이제 배운 내용을 바탕으로 주어진 집합의 부분집합을 모두 구해봅시다!
다음 집합의 부분집합을 모두 구하시오. (PDF Check 문제)
- ∅ (공집합)
- {a}
- {a, b}
정답 및 해설:
- ∅의 부분집합:
공집합은 모든 집합의 부분집합이고, 모든 집합은 자기 자신의 부분집합이므로, 공집합의 부분집합은 ∅ 자기 자신 하나뿐입니다. - {a}의 부분집합:
– 원소가 하나도 없는 부분집합: ∅
– 원소가 하나 있는 부분집합: {a}
따라서 부분집합은 ∅, {a} 입니다. - {a, b}의 부분집합:
– 원소가 하나도 없는 부분집합: ∅
– 원소가 하나 있는 부분집합: {a}, {b}
– 원소가 두 개 있는 부분집합: {a, b}
따라서 부분집합은 ∅, {a}, {b}, {a, b} 입니다.
집합의 원소를 하나씩 포함하거나 포함하지 않는 모든 경우를 생각해보면 부분집합을 빠짐없이 찾을 수 있어요! 😉
오늘은 한 집합이 다른 집합에 포함되는 관계인 ‘부분집합’의 정의와 기호, 그리고 중요한 기본 성질들에 대해 배웠습니다. 특히 공집합과 자기 자신은 항상 부분집합이 된다는 점, 그리고 세 집합 사이의 포함 관계가 이어지는 성질을 잘 기억해주세요! 이 부분집합의 개념은 앞으로 집합의 연산이나 명제의 참/거짓을 판단하는 데 매우 중요하게 활용된답니다. 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 두 집합이 서로 같은 경우와 진부분집합에 대해 알아보겠습니다. 🤝