[쎈 대수] 0079번 완벽 해설: 거듭제곱근이 자연수가 되는 조건 (공식 정리, 꿀팁, 영상 포함)
안녕하세요! 여러분의 수학 성적을 확실하게 끌어올려 줄 1타 강사 쌤입니다. 교재명이 쎈 대수로 바뀌었어도 핵심은 변하지 않죠! 오늘 함께 풀어볼 문제는 거듭제곱근의 성질을 이용해 자연수 \(n\)의 최솟값을 찾는 ‘상’ 난이도 문제입니다.
저는 현장에서 학생들을 직접 가르치며 가장 직관적이고 효과적이었던 ‘최적의 풀이’만을 엄선해 공유하고 있습니다. 더 좋은 풀이가 있다면 언제든 내용을 업데이트하여 최상의 정보를 제공할 것을 약속드립니다. 글로만 보기에 어려운 부분은 본문 하단의 해설 영상과 상세 이미지 설명을 꼭 함께 참고해 주세요!
\(\sqrt{\frac{n}{2}}\), \(\sqrt[3]{\frac{n}{3}}\)이 모두 자연수가 되도록 하는 자연수 \(n\)의 최솟값을 구하시오.
💡 핵심 분석 & 필수 공식
문제 해결의 열쇠가 되는 핵심 공식과 개념입니다.
- ✅ 거듭제곱근의 자연수 조건: \(\sqrt[m]{A}\)가 자연수가 되려면 \(A\)는 반드시 어떤 자연수의 \(m\)제곱 형태여야 합니다.
- ✅ 지수 법칙의 응용: \(n\)을 소인수분해하여 \(n = 2^a \times 3^b\) 꼴로 나타낸 뒤 지수 조건을 확인합니다.
- ✅ 최솟값 찾기: 각 지수가 분모의 거듭제곱근 지수와 나누어떨어지는 최소의 자연수를 찾습니다.
📸 이미지로 보는 단계별 상세 풀이
(여기에 쎈 대수 0079번 해설 이미지를 삽입하세요)
[단계별 풀이 가이드]
- \(\sqrt{\frac{n}{2}} = \left(\frac{n}{2}\right)^{\frac{1}{2}}\)이 자연수이려면 \(n=2 \cdot k^2\) (\(k\)는 자연수) 꼴이어야 합니다.
- \(\sqrt[3]{\frac{n}{3}} = \left(\frac{n}{3}\right)^{\frac{1}{3}}\)이 자연수이려면 \(n=3 \cdot l^3\) (\(l\)은 자연수) 꼴이어야 합니다.
- \(n = 2^a \cdot 3^b\)로 두었을 때, 첫 번째 조건에서 \(a-1\)은 2의 배수, \(b\)는 2의 배수여야 합니다.
- 두 번째 조건에서 \(a\)는 3의 배수, \(b-1\)은 3의 배수여야 합니다.
- 최솟값을 만족하는 지수는 \(a=3, b=4\)이므로 \(n = 2^3 \times 3^4 = 648\)입니다.
정답: \(648\)
🚀 1등급 꿀팁 & 실수 포인트
[실수 포인트]
단순히 \(n\)이 2와 3의 공배수라고 생각하면 안 됩니다. 분모의 지수만큼 나누어준 후에도 남은 지수가 각각 2와 3의 배수가 되어야 한다는 점이 이 문제의 함정입니다!
[쌤의 꿀팁]
지수를 정할 때 \(a\)와 \(b\)를 따로 떼어 생각하세요. \(a\)는 3의 배수이면서 \(a-1\)이 2의 배수인 가장 작은 수(3), \(b\)는 2의 배수이면서 \(b-1\)이 3의 배수인 가장 작은 수(4)를 찾는 식으로 접근하면 시간을 단축할 수 있습니다!
쎈 대수의 지수 단원은 기초부터 고난도까지 탄탄한 논리가 필요합니다. 오늘 풀이가 여러분의 실력 향상에 큰 도움이 되었기를 바랍니다.
풀이 과정이 머릿속에 잘 그려지지 않는다면? 아래의 고퀄리티 해설 영상을 시청하며 완벽하게 마스터해 보세요!
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