102 삼각형의 외심, 내심, 무게중심 특강: 잊으면 안 될 중요 성질 총정리! 🌟
안녕하세요, 도형의 중심을 찾는 탐험가 친구들! 👋 삼각형에는 아주 특별한 의미를 가진 세 가지 중요한 중심점들이 있어요. 바로 외심(Circumcenter), 내심(Incenter), 그리고 무게중심(Centroid)이랍니다! 이 세 가지 중심은 중학교 때 이미 배웠지만, 고등학교 과정의 도형 문제를 해결할 때도 자주 등장하는 중요한 개념들이에요. 오늘은 이 삼각형의 세 가지 마법 같은 중심점들의 정의와 주요 성질들을 다시 한번 확실하게 정리해 보는 특강 시간을 가질 거예요. 함께 그 비밀을 파헤쳐 볼까요? 🗺️
📝 핵심만정리: 삼각형의 3대 중심, 한눈에 보기!
- 외심 (O, Circumcenter):
- 정의: 삼각형의 세 변의 수직이등분선의 교점.
- 성질: 외심에서 삼각형의 세 꼭짓점에 이르는 거리가 같다 (이 거리가 외접원의 반지름). 즉, OA = OB = OC.
- 내심 (I, Incenter):
- 정의: 삼각형의 세 내각의 이등분선의 교점.
- 성질: 내심에서 삼각형의 세 변에 이르는 거리가 같다 (이 거리가 내접원의 반지름). 즉, 내심에서 각 변에 내린 수선의 발을 D, E, F라 하면 ID = IE = IF.
- 무게중심 (G, Centroid):
- 정의: 삼각형의 세 중선의 교점 (중선: 한 꼭짓점과 마주 보는 변의 중점을 이은 선분).
- 성질: 무게중심은 세 중선의 길이를 각 꼭짓점으로부터 2:1로 나눈다.
예: 중선 AD에서 AG : GD = 2 : 1.
🌟 삼각형의 외심 (O): 외접원의 중심!
개념정리 102-1: 세 변의 수직이등분선이 만나는 점
삼각형의 외심(Circumcenter)은 삼각형의 세 변 각각의 수직이등분선들이 한 점에서 만나는 점을 말해요. 이 외심은 삼각형의 외접원(삼각형의 세 꼭짓점을 모두 지나는 원)의 중심이 되기도 합니다.
외심의 가장 중요한 성질은 외심으로부터 삼각형의 세 꼭짓점까지의 거리가 모두 같다는 것이에요. 이 거리가 바로 외접원의 반지름의 길이가 됩니다.
점 O가 ▵ABC의 외심이면 OA = OB = OC (= 외접원의 반지름)
좌표평면에서 외심의 좌표를 구할 때는 이 성질을 이용하여 AP2 = BP2과 BP2 = CP2 (또는 AP2 = CP2)을 연립하여 풀면 됩니다. (거리가 같으므로 제곱해도 같아요!)
💖 삼각형의 내심 (I): 내접원의 중심!
개념정리 102-2: 세 내각의 이등분선이 만나는 점
삼각형의 내심(Incenter)은 삼각형의 세 내각의 이등분선들이 한 점에서 만나는 점을 말해요. 이 내심은 삼각형의 내접원(삼각형의 세 변에 모두 접하는 원)의 중심이 되기도 합니다.
내심의 가장 중요한 성질은 내심으로부터 삼각형의 세 변까지의 거리가 모두 같다는 것이에요. 이 거리가 바로 내접원의 반지름의 길이가 됩니다. (여기서 변까지의 거리는 내심에서 각 변에 내린 수선의 길이를 의미해요.)
점 I가 ▵ABC의 내심이고, 각 변에 내린 수선의 발을 D, E, F라 하면 ID = IE = IF (= 내접원의 반지름)
⚖️ 삼각형의 무게중심 (G): 균형의 중심!
개념정리 102-3: 세 중선이 만나는 점
삼각형의 무게중심(Centroid)은 삼각형의 세 중선이 한 점에서 만나는 점을 말해요. 여기서 중선이란, 삼각형의 한 꼭짓점과 그 마주 보는 변(대변)의 중점을 이은 선분을 의미합니다.
무게중심의 가장 중요한 성질은 무게중심이 각 중선의 길이를 꼭짓점으로부터 2:1로 나눈다는 것이에요.
점 G가 ▵ABC의 무게중심이면 AG : GD = BG : GE = CG : GF = 2 : 1
(이 성질을 이용하여 좌표평면에서 세 꼭짓점의 좌표가 주어졌을 때 무게중심의 좌표를 구하는 공식을 유도할 수 있어요. 이 공식은 다음 포스팅(106번)에서 자세히 다룰 예정입니다!)
🧐 개념확인 문제: 외심의 좌표 구하기!
이제 배운 성질을 활용하여 삼각형의 외심의 좌표를 구해봅시다!
세 점 A(2, 2), B(-5, 3), C(-2, 4)를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 외심의 좌표를 구하시오. (PDF Check 문제)
정답 및 해설:
삼각형 ABC의 외심을 P(a, b)라고 하면, 외심의 성질에 의해 점 P에서 세 꼭짓점 A, B, C에 이르는 거리가 모두 같아요. 즉, AP = BP = CP 입니다.
계산의 편의를 위해 거리의 제곱이 같다고 놓고 식을 세웁니다: AP2 = BP2과 AP2 = CP2.
1. AP2 = BP2 이용:
(a-2)2 + (b-2)2 = (a-(-5))2 + (b-3)2
(a-2)2 + (b-2)2 = (a+5)2 + (b-3)2
a2-4a+4 + b2-4b+4 = a2+10a+25 + b2-6b+9
양변의 a2, b2을 소거하고 정리하면:
-4a-4b+8 = 10a-6b+34
-14a + 2b = 26
양변을 2로 나누면: -7a + b = 13 또는 7a – b = -13 ··· ①
2. AP2 = CP2 이용:
(a-2)2 + (b-2)2 = (a-(-2))2 + (b-4)2
(a-2)2 + (b-2)2 = (a+2)2 + (b-4)2
a2-4a+4 + b2-4b+4 = a2+4a+4 + b2-8b+16
양변의 a2, b2을 소거하고 정리하면:
-4a-4b+8 = 4a-8b+20
-8a + 4b = 12
양변을 4로 나누면: -2a + b = 3 ··· ②
3. ①과 ② 연립하여 풀기:
①: 7a – b = -13
②: -2a + b = 3
① + ②: (7a-b) + (-2a+b) = -13 + 3 ⇒ 5a = -10 ⇒ a = -2.
a=-2를 ②에 대입하면: -2(-2) + b = 3 ⇒ 4 + b = 3 ⇒ b = -1.
따라서 외심 P의 좌표는 (-2, -1) 입니다.
외심의 성질을 이용하여 두 점 사이의 거리 공식을 활용하면 좌표를 구할 수 있었죠? 😉
오늘은 삼각형의 중요한 세 가지 중심점인 외심, 내심, 무게중심의 정의와 핵심 성질들을 복습해 보았습니다. 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점으로 세 꼭짓점까지의 거리가 같고, 내심은 세 내각의 이등분선의 교점으로 세 변까지의 거리가 같으며, 무게중심은 세 중선의 교점으로 중선을 2:1로 내분한다는 점을 기억하는 것이 중요해요! 이 성질들은 앞으로 다양한 도형 문제를 해결하는 데 유용하게 사용될 테니 꼭 기억해두세요! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 선분의 내분점과 외분점의 좌표를 구하는 방법에 대해 알아보겠습니다. 📍