마플시너지 미적분1 · 학원 내부용 액티브 답지
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서술형최다빈출왕중요01-1 함수의 극한 함수의 극한
−2f(x)=(x+1)(x−1)(x+2), (−2)×1=−2
x→∞ 극한이 2 이면 f(x)−x³ 의 차수부터 정하세요 f(x)−x³ 은 분모 x²+1 과 같은 이차식이어야 한다.개념 카드 · ∞/∞꼴로 다항식 결정 「극한이 0 아닌 상수 ⇔ 차수 같음, 값 = 최고차계수 비」
1단계는 조건 (가) 만 본다. x→∞ 일 때 분수의 극한이 0 이 아닌 상수 2 이면 분자와 분모의 차수가 같고, 극한값은 최고차계수의 비다. 분모 x²+1 이 이차식이므로 해설 STEP A 처럼 f(x)−x³ 은 x² 의 계수가 2 인 이차식이 된다. 모르는 일차항·상수항은 a, b 로 두고 f(x)=x³+2x²+ax+b 로 적는다.◀ ∞극한 = 차수 같음 + 최고차계수 비
2단계는 조건 (나) 를 쓴다. x→1 에서 분모 x−1 이 0으로 가는데 극한값 6 이 존재하므로 분자도 0으로 가야 한다. 해설 STEP B 처럼 f(1)=1+2+a+b=0 에서 b=−a−3 을 얻어 f(x)에 넣는다. 그러면 f(x)는 x−1 을 인수로 가지므로 조립제법으로 (x−1)(x²+3x+a+3) 으로 나눈다.◀ 분자→0 으로 b 를 지우고 x−1 로 나눈다
x−1 을 약분하면 극한은 1+3+a+3=7+a 이고 이것이 6 이므로 a=−1, b=−2 다. 따라서 f(x)=x³+2x²−x−2 이다. 3단계는 해설 STEP C 처럼 f(x)를 (x+1)(x−1)(x+2) 로 인수분해해 x+1 을 약분하고, x=−1 을 넣어 (−2)×1=−2 를 얻는다.◀ 완성된 f(x)를 인수분해해 x+1 을 약분
발상의 출발점조건 (가)는 x→∞ 극한이라 f(x)의 차수와 최고차 쪽 계수를 정하고, 조건 (나)는 x→1 의 0/0꼴이라 나머지 미정계수를 정한다. 두 조건이 역할을 나눠 가지므로 (가)로 f(x)=x³+2x²+ax+b 를 먼저 세우고, (나)의 ‘분자→0’ 과 ‘약분 후 값=6’ 두 식으로 a, b 를 푼다. 3단계는 완성된 f(x)가 x+1 을 인수로 갖는지 확인하는 계산이다.
실수 포인트 ①(가)에서 f(x)를 2x² 으로 시작하는 이차식으로 착각하는 실수. 분자가 f(x)−x³ 이므로 f(x)는 x³+2x²+ax+b 인 삼차식이다. x³ 을 빠뜨리면 이후 식이 모두 틀린다.
실수 포인트 ②(나)에서 f(1)=0 만 쓰고 극한값 6 을 쓰지 않아 미지수가 하나 남는 실수. 분자→0 조건은 b=−a−3 까지만 준다. 약분한 뒤의 극한값 7+a=6 까지 써야 a=−1 이 나온다.
실수 포인트 ③3단계에서 x=−1 을 원래 분수에 바로 넣어 0/0 에서 멈추는 실수. x³+2x²−x−2 를 x+1 로 나눠 (x+1)(x−1)(x+2) 로 바꿔야 약분 후 (−2)×1=−2 가 나온다.
정답 −2 (f(x)=(x+1)(x−1)(x+2), (−2)×1=−2)
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