문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
−1<x<0 구간의 g=−f(x+1)+1. −f는 x축 대칭, (x+1)은 왼쪽 1, +1은 위 1. 즉 [0,1]의 f를 뒤집어 왼쪽 위로 옮긴 조각이다. 이 변환을 그림으로 먼저 그려두면 부호 실수가 통째로 사라진다.
◀ −f(x+a)+b = x축 대칭 후 (왼쪽 a · 위 b) 이동
∫−10[−f(x+1)+1]dx에서 u=x+1 치환 → ∫01[−f(u)+1]du = −∫01 f + 1 = −1/6 + 1 = 5/6. 그리고 ∫01 g = ∫01 f = 1/6. 합치면 한 주기 ∫−11 g = 1.
◀ 조각별 적분은 치환으로 [0,1] 기준에 맞춰 계산
주기 2라 ∫−32(길이 5) = ∫−3−1 + ∫−11 + ∫12. 앞 둘은 각 한 주기라 1, 자투리 ∫12 g = ∫−10 g = 5/6. 합 = 1 + 1 + 5/6 = 17/6.
◀ 긴 구간은 (한 주기들) + (자투리)로 분해
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : (가)의 −f(x+1)+1을 ‘x축 대칭 + 평행이동’으로 해석해 그래프를 그린 뒤, 넓이는 치환으로 [0,1]의 f 기준으로 환원한다. 한 주기 ∫−11 g = 1을 먼저 확보하는 게 전체 열쇠다.
실수 포인트 ① : −f(x+1)+1의 넓이를 f 넓이(1/6)로 착각하는 실수. 실제로는 1−1/6 = 5/6(가로1×세로1 직사각형에서 f 넓이를 뺀 부분)이다.
실수 포인트 ② : 주기함수인데 ∫−32를 한 번에 계산하려다 꼬이는 실수. 주기 단위로 끊어라.
실수 포인트 ③ : ∫12 g를 자투리로 옮길 때 ∫−10(=5/6)이 아니라 ∫01(=1/6)로 착각하는 실수. 주기 2만큼 ‘어느 쪽으로’ 미는지 확인하라.
정답 : ② (17/6)