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조건 (가)의 극한은 미분계수의 정의 그 자체다. 이 극한이 존재한다는 건 g가 x=0에서 미분가능하고 g′(0)=−4라는 뜻. 정의형 극한을 보면 반사적으로 ‘f′(a)로 번역’하는 게 첫 단추다.
◀ (f(x)−f(a))/(x−a) 꼴 극한 = f′(a)
x→0에서 분모 x→0인데 극한값(−4)이 유한하게 존재하려면 분자도 0으로 가야 한다. x≥0쪽 g(0)=a−f(0)과 x<0쪽 g를 이어 맞추면 f(0)=a−f(0) → f(0)=a/2. 여기에 f′(0)=−4까지 쓰면 f(x)=−x²−4x+a/2로 좁혀진다.
◀ (유한값)이 (0/0 꼴)이면 분자도 반드시 0
g(x)=a−f(−x) 꼴은 x≥0에서 x²−4x+a/2. g′=2x−4=0에서 x=2가 극소. 조건 (나)로 g(2)=4−8+a/2=0 → a=8. 마지막 g(−a)=g(−8)은 −8<0이므로 x<0 식에 넣어 −(−8)²−4(−8)+4=−64+32+4=−28.
◀ 대입 지점의 부호(−8<0)로 어느 조각 쓸지 결정
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 조건 (가)는 미분계수의 정의라서 g′(0)=−4와 연속(f(0)=a/2) 두 정보를 동시에 준다. 최고차항 −1인 f(x)=−x²+px+a/2에서 f′(0)=p=−4. 그러면 g의 x≥0 조각이 x²−4x+a/2로 정해지고, 극솟값 0 조건으로 a=8이 확정된다. 마지막 g(−a)=g(−8)은 부호를 보고 알맞은 조각에 대입한다.
실수 포인트 ① : (가)를 단순 극한 계산으로만 보고 미분계수와 연속 두 정보를 못 뽑아내는 실수.
실수 포인트 ② : a−f(−x)를 미분할 때 합성함수 부호(−1)를 놓쳐 f′(0)의 부호를 틀리는 실수. x≥0쪽 미분계수도 결국 f′(0)=−4로 맞아떨어진다.
실수 포인트 ③ : g(−8)을 x≥0 식에 잘못 대입하는 실수. −8<0이므로 x<0 조각 −x²−4x+4를 써야 −28이 나온다.
정답 : ⑤ (g(−a)=−28)