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삼차방정식의 실근이 α, β 두 개뿐이라는 건, 세 근 중 두 근이 겹쳐 중근이 됐다는 뜻이다. 즉 f(x)=(x−α)²(x−β) 또는 f(x)=(x−α)(x−β)² 두 꼴 중 하나. ‘실근 개수가 차수보다 적다’는 문장은 항상 중근을 떠올려라.
◀ 실근 2개 = 어느 한쪽이 접점(중근)
만약 중근이 극소점이면 그 점에서 f=0, 즉 극솟값이 0이 되어 −4와 모순이다. 따라서 중근은 극대점 쪽(x=α)이어야 하고 f(x)=(x−α)²(x−β)로 확정된다. ‘극솟값이 0이 아니다’라는 조건이 두 케이스 중 하나를 잘라낸다.
◀ 극값 조건으로 케이스 하나를 소거하는 게 핵심
f(x)=(x−α)²(x−β)의 극소점은 α와 β를 2:1로 내분한 x=(α+2β)/3, 극솟값은 4/27(α−β)³. −4로 놓으면 (α−β)³=−27 → α−β=−3 → β=α+3(ㄴ 참). ㄱ은 x=α가 중근이자 극대점이니 f'(α)=0(참). ㄷ은 f(0)=−α²β=16에 β=α+3을 넣어 α=−4, β=−1 → α²+β²=17(≠18, 거짓).
◀ 이 문제의 출제 포인트 — 비율관계가 ㄴ을 3초에 푼다
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : (가) 실근이 두 개뿐 → 중근 존재 → f(x)=(x−α)²(x−β) 또는 (x−α)(x−β)². (나) 극솟값 −4≠0이 중근이 극소점인 경우를 배제해, 식이 f(x)=(x−α)²(x−β)로 확정된다. 이후 삼차함수 비율관계로 극소점과 극솟값을 미분 없이 구한다.
실수 포인트 ① : 중근 위치를 나누지 않고 한 꼴로만 풀어 케이스 (ii)를 검토 안 하는 실수. 극솟값 조건이 케이스를 걸러주는 열쇠임을 놓치지 마라.
실수 포인트 ② : ㄴ에서 (α−β)³=−27을 풀 때 α−β=3으로 부호를 놓치는 실수. 극솟값이 음수(−4)라 (α−β)³<0 → α−β=−3, 즉 β=α+3.
실수 포인트 ③ : ㄷ에서 f(0)=−α²β의 부호 실수. (x−α)²(x−β)에 x=0을 넣으면 (−α)²(−β)=−α²β=16. 이후 α=−4, β=−1이므로 α²+β²=16+1=17이라 18이 아니다(거짓). 옳은 것은 ㄱ, ㄴ.
정답 : ② (ㄱ, ㄴ)