문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
그래프가 x축에 접하려면 어느 극점이 x축에 딱 닿아야 한다. 즉 극댓값=0 또는 극솟값=0이면 된다. ‘접한다’를 ‘극값 중 하나가 0’으로 번역하는 순간, 문제는 극값을 a로 나타내는 계산 문제로 바뀐다.
◀ 접한다 → 극값=0 이라는 번역이 전부다
f'(x)=12x³−24x²−36x=12x(x−3)(x+1)이므로 극점은 x=−1, 0, 3 세 개. 상수 a는 그래프를 위아래로 통째로 옮기는 세로 평행이동 손잡이라서, 각 극값은 f(−1)=a−7, f(0)=a, f(3)=a−135으로 a에 대한 일차식이 된다.
◀ a는 그래프를 세로로 미는 손잡이 — 극값=(상수)+a
‘접하도록 하는 모든 a의 합’이므로 세 경우를 빠짐없이 잡아야 한다. a−7=0, a=0, a−135=0 → a=7, 0, 135. 합은 7+0+135=142. ‘모든 값의 합’이라는 표현은 항상 ‘경우를 하나도 빼지 말고 다 세라’는 신호다.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 사차함수 그래프가 x축에 접한다 = 그래프의 극점 중 하나가 높이 0에 놓인다 = 극댓값 또는 극솟값이 0. 상수 a가 그래프 전체를 세로로 평행이동시키므로, 각 극값을 a로 나타낸 뒤 =0으로 놓으면 조건을 만족하는 a가 나온다.
실수 포인트 ① : x=0의 극댓값 f(0)=a를 빠뜨리는 실수. 극점이 세 개(−1, 0, 3)인데 가운데 극대를 놓치면 a=0을 잃어 합이 틀린다.
실수 포인트 ② : 극댓값=0인 경우는 접하지 않는다고 착각하는 실수. 위로 볼록한 극대점도 x축에 닿으면 접하는 것이므로 a=0도 유효하다.
실수 포인트 ③ : f(3)=3·81−8·27−18·9+a의 계산 실수. 243−216−162+a=a−135. 부호와 자릿수를 조심하라.
정답 : 142