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ㄱ. “f'(0)=0이면 f(0)=0″은 거짓. f(x)=x²+1을 던지면 f'(x)=2x라 f'(0)=0이지만 f(0)=1≠0. 도함수 값과 함숫값은 완전히 별개다. 참인 것 같은 명제일수록 상수항을 붙인 간단한 반례부터 시험해 보는 게 대치동식 검증법이다.
◀ ‘~이면 ~이다’는 반례 1개면 즉사 → 상수항 붙여보기
ㄴ. g가 다항함수면 g’도 다항함수이고, 다항함수는 모든 실수에서 연속이다. 따라서 limx→ag'(x)=g'(a)는 항상 참. ‘연속함수는 극한값=함숫값’이라는 정의를 도함수에 그대로 적용하면 된다.
◀ 다항함수 계열은 무조건 연속 → 극한=함숫값
ㄷ. h'(0)=limx→0[h(x)−h(0)]/x 에서 h(x)=h(−x)를 대입하면 [h(−x)−h(0)]/x. 이를 {[h(−x)−h(0)]/(−x)}×(−1)로 바꾸면 −h'(0). 즉 h'(0)=−h'(0) → 2h'(0)=0 → h'(0)=0. 대칭(우함수)이면 꼭짓점이 원점에 걸려 접선 기울기가 0이 되는 그림을 떠올려도 된다.
◀ 우함수는 y축 대칭 → 원점에서 접선 수평 → h'(0)=0
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 합답형 참·거짓은 참은 증명, 거짓은 반례가 원칙이다. ㄱ은 반례(f=x²+1) 하나로 무너지고, ㄴ은 “다항함수의 도함수도 연속”이라는 성질로 참, ㄷ은 미분계수의 정의에 대칭조건을 대입해 h'(0)=−h'(0)을 유도하면 참. 애매하면 우선 반례부터 찔러보고, 안 깨지면 성질로 증명하는 흐름이 빠르다.
실수 포인트 ① : ㄱ에서 반례를 못 찾고 참으로 착각하는 실수. 도함수 값(기울기)과 함숫값(높이)은 무관하다. 상수항만 더해도 f(0)은 바뀌지만 f'(0)은 그대로다.
실수 포인트 ② : ㄴ을 “미분가능하면 연속”과 헷갈리는 실수. 여기서 핵심은 도함수 g'(x) 자체가 다항함수라 연속이라는 점이다. 방향을 정확히 짚어야 한다.
실수 포인트 ③ : ㄷ에서 치환할 때 (−x)로 나누며 생기는 부호 (−1)을 빠뜨리는 실수. 이 부호 하나가 h'(0)=−h'(0)이라는 결론을 만든다.
정답 : ④ (ㄴ, ㄷ)