문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
x=0에서 미분가능한지 볼 땐 두 관문을 통과해야 한다. ① x=0에서 연속, ② 좌미분계수=우미분계수. 실전에선 연속은 눈으로 빠르게 확인하고, 진짜 승부는 좌·우 미분계수 값이 같은지에서 갈린다. 이 문제도 세 보기 모두 연속은 되고, 미분계수에서 참·거짓이 갈린다.
◀ 연속은 빠르게, 좌우 미분계수 계산에 힘을 실어라
|x|나 조각함수가 섞이면 그대로 두지 말고 구간별 식으로 풀어써라. ㄱ xf(x)=x|x|는 {x² (x≥0), −x² (x<0)}. ㄴ f(x)g(x)는 {2x²+x (x≥0), x²+x (x<0)}. 이렇게 다항식으로 바꿔놓으면 미분계수 계산이 단순 대입으로 끝난다.
◀ 절댓값·조각함수는 구간별 다항식으로 변환이 먼저
x=0에서의 미분계수는 lim[h(x)−h(0)]/(x−0)을 좌(x→0−)·우(x→0+)로 나눠 계산한다. ㄴ의 경우 좌: (x²+x)/x=x+1→1, 우: (2x²+x)/x=2x+1→1. 둘 다 1로 같아 미분가능. ㄱ도 둘 다 0으로 같아 미분가능.
◀ 값이 같으면 미분가능, 다르면 그 순간 탈락
ㄷ의 |f(x)−g(x)|는 안쪽 f−g={−x−1 (x≥0), 1 (x<0)}. x≥0에서 −x−1<0이라 절댓값 벗기면 {x+1 (x≥0), 1 (x<0)}. x=0에서 좌미분계수=0, 우미분계수=1로 달라 미분 불가. 절댓값 함수는 안쪽 부호가 바뀌는 지점에서 꺾이기 쉽다는 걸 항상 경계하라.
◀ 절댓값 함수 = 부호 전환점에서 미분 불가 의심 1순위
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 조각·절댓값 함수의 미분가능 판별은 겁먹을 필요 없이 기계적이다. 각 보기를 x≥0 / x<0 구간별 다항식으로 바꾼 뒤, x=0에서 좌미분계수와 우미분계수를 각각 구해 같으면 참, 다르면 거짓. 연속은 대부분 자동으로 성립하니 미분계수 비교에만 집중하면 된다.
실수 포인트 ① : xf(x), f(x)g(x)의 곱을 구간별로 전개할 때 x<0에서 |x|=−x인 걸 놓치는 실수. x<0 구간에서 |x|는 −x로 바꿔 곱해야 한다.
실수 포인트 ② : ㄷ에서 f−g의 부호를 확인하지 않고 절댓값을 벗기는 실수. x≥0에서 −x−1은 음수라 절댓값을 씌우면 부호가 바뀌어 x+1이 된다. 이 부호 판단을 건너뛰면 좌우 미분계수가 뒤섞인다.
실수 포인트 ③ : ㄷ이 연속이니까 미분가능이라 착각하는 실수. 연속이어도 꺾이면 미분 불가다. 좌미분계수 0, 우미분계수 1로 갈리는 순간 탈락.
정답 : ③ (ㄱ, ㄴ)