문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
g(x)는 x=±2에서 점프 불연속이다(안쪽 끝값 0, 바깥값 1). 그런데 f(x)g(x)가 실수 전체에서 연속이려면 이 점프를 죽여야 한다. 방법은 하나 — 그 점에서 f=0을 곱해 0×(무엇이든)=0으로 눌러버리는 것. 그래서 f(−2)=0, f(2)=0이 되고, 최고차항 1인 이차함수는 f(x)=(x+2)(x−2)로 확정된다.
◀ 연속인 곱에서 한쪽이 점프면, 다른 쪽 인수가 그 점에서 0
f(x)=(x+2)(x−2)의 두 근은 x=−2, x=2. f(x−a)로 바꾸면 그래프가 통째로 오른쪽으로 a만큼 밀려 근도 x=a−2, x=a+2로 이동한다. 이 근이 g의 불연속점(±2)과 겹치는 순간, 그 자리의 점프가 0으로 죽는다. ‘어디서 0이 되나’를 근의 이동으로 추적하는 게 핵심이다.
◀ 평행이동은 근(0점)을 그대로 끌고 다닌다
g는 x=−2, x=2 두 곳에서 불연속이다. f(x−a)의 두 근 x=a−2, x=a+2 중 딱 하나만 이 불연속점과 겹쳐 점프를 죽여야 ‘한 점 불연속’이 된다. a−2=2 → a=4, 또는 a+2=−2 → a=−4. a=0이면 근이 정확히 ±2라 두 점 다 죽어 완전 연속이 되니 제외. 곱은 4×(−4)=−16.
◀ 둘 다 죽으면(a=0) 연속, 하나만 죽여야 한 점 불연속
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 곱함수 f·g가 실수 전체에서 연속이라는 조건은 g의 점프를 f=0으로 눌러 없앤다는 뜻이다. 여기서 f의 인수(x+2), (x−2)를 뽑아내는 게 STEP A. 그다음 f(x−a)는 평행이동이므로 근이 a만큼 움직인다는 점을 이용해, g의 두 불연속점 중 하나만 근으로 덮으면 ‘한 점 불연속’이 완성된다.
실수 포인트 ① : g의 불연속점을 잘못 잡는 실수. g는 x=±2에서 안쪽 끝값 0과 바깥값 1이 어긋나 불연속이다. 함숫값 g(±2)=0(|x|≤2쪽)임을 정확히 챙겨야 한다.
실수 포인트 ② : a=0을 답에 포함하는 실수. a=0이면 f(x−a)=f(x)의 근이 정확히 ±2라 두 점 다 죽어 완전 연속이 된다. ‘한 점 불연속’ 조건에 어긋나므로 반드시 제외.
실수 포인트 ③ : 근의 이동 방향을 반대로 잡는 실수. f(x−a)는 오른쪽으로 +a 이동이라 근이 a−2, a+2다. 부호를 헷갈리면 조건식 a−2=2, a+2=−2가 뒤집혀 과정에서 실점한다.
정답 : ① (a=4, a=−4 → 곱 −16)