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ㄱ은 f(x−1)이 x=0에서 연속인지 묻는다. x−1=t로 치환하면 x=0일 때 t=−1. 즉 f(t)가 t=−1에서 연속인지 확인하면 끝이다. 그래프에서 x=−1의 좌극한·우극한·함숫값이 모두 1로 같으면 연속. f(x−1)은 연속이다.
◀ 평행이동 판별은 좌표만 밀린 한 점의 좌·우·함숫값 확인이다
ㄴ은 f(x)f(−x)의 x=1 연속. f(−x)에서 −x=s로 놓으면 x→1−일 때 s→−1+, x→1+일 때 s→−1−로 방향이 반대가 된다. 좌극한 lim f(x)·lim f(−x)=0×1=0, 우극한 (−1)×1=−1로 좌≠우라 불연속. 방향 뒤집힘을 놓치면 좌우가 통째로 틀린다.
◀ f(−x)는 접근 부호가 반대다. x→1−이면 −x→−1+
ㄷ은 f(f(x))의 x=3 불연속 여부. f(x)=r로 치환하면 x→3−일 때 안쪽 f(x)→1−이라 바깥 lim f(r)=0, x→3+일 때 안쪽 f(x)→1+이라 바깥 lim f(r)=−1. 좌극한 0 ≠ 우극한 −1이라 불연속이 맞다. 합성은 안쪽이 좌우로 서로 다른 t로 가면 바깥값도 갈린다.
◀ 합성의 연속은 안쪽→바깥 릴레이. 안쪽 좌우가 다른 t로 가면 위험
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 그래프 합답형은 불연속점의 좌극한·우극한·함숫값을 먼저 표로 메모하는 게 반이다. 그 위에서 ㄱ(평행이동)·ㄴ(대칭곱)·ㄷ(합성)은 모두 “어느 점의 극한을 읽어야 하는가”로 치환된다. ㄱ은 t=−1, ㄴ은 −x=s의 방향 반전, ㄷ은 안쪽 f(x)의 도착지 t를 먼저 잡는 2단 릴레이다.
실수 포인트 ① : ㄴ에서 f(−x)의 접근 방향을 뒤집지 않는 실수. x→1−이면 −x→−1+다. 이걸 놓치면 좌·우극한이 통째로 바뀐다.
실수 포인트 ② : ㄷ에서 안쪽 f(x)가 x=3에서 좌우로 각각 어디(1−인지 1+인지)로 가는지 착각하는 실수. 안쪽의 방향이 바깥 f의 극한값을 결정한다.
실수 포인트 ③ : “불연속이다”라는 보기를 참/거짓과 반대로 셈하는 실수. ㄷ은 실제로 불연속이므로 [참]이다.
정답 : 2 (옳은 것은 ㄱ, ㄷ)