라이트쎈 공통수학 07단원 명제 (참거짓 판별, 꿀팁 총정리)

안녕하세요! 📚 라이트쎈 공통수학으로 열공하는 학생 여러분! 06단원 ‘집합의 연산’은 잘 마치셨나요? **’07단원 명제’**는 집합과 떼려야 뗄 수 없는, ‘집합의 논리 버전’ 파트입니다.

‘명제’는 수학적 논리를 다루는 단원입니다. 용어가 조금 낯설 수 있지만, ‘참’과 ‘거짓’을 판별하는 ‘규칙’을 배운다고 생각하면 간단합니다. 라이트쎈 문제들도 결국 이 ‘규칙’을 아는지 묻는 것입니다.

1. 명제 vs 조건 (그리고 진리집합)

가장 기본이 되는 용어 구분입니다.

1-1. 명제 (Proposition)

참(True)인지 거짓(False)인지 **분명하게 판별**할 수 있는 문장이나 식입니다.

“2는 짝수이다.” (O) ⟶ 참인 명제
“3은 5보다 크다.” (O) ⟶ 거짓인 명제
“저 꽃은 예쁘다.” (X) ⟶ 기준이 불분명하여 명제가 아님
“$x+1 = 3$이다.” (X) ⟶ $x$값에 따라 참/거짓이 바뀌므로 명제가 아님 (아래 ‘조건’ 참고)

1-2. 조건 (Condition)

변수 $x$를 포함하여, $x$의 값에 따라 참/거짓이 결정되는 문장이나 식입니다.

예: $p(x) : x\text{는 6의 약수이다.}$
($x=2$이면 참, $x=5$이면 거짓)

1-3. 진리집합 (Truth Set)

전체집합 $U$의 원소 중에서, 조건 $p(x)$를 참(True)이 되게 하는 모든 원소들의 집합입니다. (기호: $P$)

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ 일 때,
조건 $p : x\text{는 6의 약수이다.}$
$\implies$ 조건 $p$의 진리집합 $P = \{1, 2, 3, 6\}$

2. 명제 $p \to q$ 의 참/거짓 (★단원 핵심★)

라이트쎈 07단원에서 가장 중요한 부분입니다. “가정 $p$이면 결론 $q$이다.” 형태의 명제입니다.

예: “$x=1$이면 $x^2=1$이다.” ($p: x=1$, $q: x^2=1$)

이 명제가 ‘참’인지 ‘거짓’인지는 **’진리집합’**으로 판별합니다.

명제 $p \to q$ 에서 두 조건 $p, q$의 진리집합을 각각 $P, Q$라 할 때,

✅ $P \subset Q$ (P가 Q의 부분집합) 이면 ⟶ 명제 $p \to q$는 참 (True)
✅ $P \not\subset Q$ (P가 Q의 부분집합이 아니면) ⟶ 명제 $p \to q$는 거짓 (False)

🍯 꿀팁 (명제가 ‘거짓’이 되는 이유: 반례(Counterexample))

명제 $p \to q$가 ‘거짓’임을 보이려면, **가정 $p$는 만족하지만($p \in P$), 결론 $q$는 만족하지 않는($q \notin Q$)** 단 하나의 예시(‘반례’)만 찾으면 됩니다.

이 ‘반례’가 존재하는 곳이 바로 벤다이어그램에서 $P – Q$ (또는 $P \cap Q^C$) 부분입니다.

$P \subset Q$ 라는 것은 반례가 ($P-Q$) 하나도($\emptyset$) 없다는 뜻입니다!

3. ‘모든’과 ‘어떤’ (그리고 그 부정)

‘모든’과 ‘어떤’이 들어간 명제의 참/거짓과 ‘부정'(Negation, 기호: $\sim$)은 라이트쎈의 단골 함정 문제입니다.

3-1. 참 / 거짓 판별

“모든 $x$에 대하여 $p(x)$이다.”
- 참(True) $\iff$ 진리집합 $P = U$ (전체집합)
- 거짓(False) $\iff$ **단 하나라도** 안되는 것($p(x)$가 거짓)이 있으면 됨
“어떤 $x$에 대하여 $p(x)$이다.”
- 참(True) $\iff$ **단 하나라도** 되는 것($p(x)$가 참)이 있으면 됨 ($P \neq \emptyset$)
- 거짓(False) $\iff$ **전부 다** 안될 때 ($P = \emptyset$)

3-2. 명제의 부정 (Negation: $\sim p$) (★필수 암기★)

‘~이다’ $\leftrightarrow$ ‘~가 아니다’

‘또는’ $\leftrightarrow$ ‘그리고’

가장 중요한 것은 ‘모든’과 ‘어떤’의 부정입니다.

🍯 “모든”과 “어떤”의 부정 꿀팁!

부정할 때는 **’모든’ $\leftrightarrow$ ‘어떤’** 으로 바꾸고, **서술어**를 부정합니다.

(명제) “모든 $x$에 대하여 $p(x)$이다.”
$\implies$ (부정) “어떤 $x$에 대하여 $p(x)$가 아니다. ($\sim p(x)$)”
(명제) “어떤 $x$에 대하여 $p(x)$이다.”
$\implies$ (부정) “모든 $x$에 대하여 $p(x)$가 아니다. ($\sim p(x)$)”