마플시너지 미적분1 · 학원 내부용 액티브 답지
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BASIC01-1 함수의 극한 함수의 극한
22t²/(t²+1) → 2/1=2
PH 는 점 P 의 y좌표이니 P 를 t 로 나타내세요 t 가 커질수록 OA 는 커지고 PH 는 작아져 ∞×0 꼴이 된다.개념 카드 · 도형에서 ∞/∞꼴 극한 「길이를 t 의 식으로 → 최고차항으로 나누기」
OA 는 A(0, t) 이므로 바로 t 다. PH 는 P 에서 x축까지의 거리이니 P 의 y좌표 그 자체다. 해설 STEP A 처럼 직선 AB 를 y=t(x+1) 로 두고 x=y/t−1 을 원 x²+y²=1 에 넣으면 y 에 대한 식만 남는다. B 는 y=0 인 교점이므로 버리고 나머지 근을 잡는다.◀ PH = P 의 y좌표, 연립은 y 만 남게
전개하면 (1/t²+1)y²−(2/t)y=0 으로 y 가 공통인수다. y=0 은 B 이므로 다른 근 y=2t/(t²+1) 이 PH 가 된다(해설 STEP A 마지막 줄). 이제 OA×PH=t×2t/(t²+1)=2t²/(t²+1) 로 t 만의 분수식이 되었다.◀ y 로 묶고 y=0(B)을 빼면 P 가 남는다
t→∞ 이면 OA→∞, PH→0 이라 그대로는 판정이 안 된다. 곱한 2t²/(t²+1) 은 분자·분모가 같은 2차이므로 해설 STEP B 처럼 t² 으로 나누면 2/(1+1/t²) 이고, 1/t²→0 이라 극한값은 2 다.◀ ∞×0 → 곱해서 ∞/∞ → 최고차로 나누기
발상의 출발점OA 는 커지고 PH 는 작아지는 ∞×0 꼴이라 두 길이를 모두 t 의 식으로 만든 뒤 곱해야 판정할 수 있다. OA 는 좌표에서 바로 t 이므로, 이 문제는 결국 P 의 y좌표 하나를 t 로 쓰는 것이 전부다. 직선과 원을 y 에 대해 연립하고 B(y=0)를 빼면 된다.
실수 포인트 ①PH 를 P 의 x좌표로 잡는 실수. H 는 P 에서 x축에 내린 수선의 발이므로 PH 는 y좌표의 크기다 → PH=2t/(t²+1)
실수 포인트 ②연립한 뒤 y=0 을 P 의 좌표로 쓰는 실수. y=0 은 점 B 이므로 버리고 나머지 근 2t/(t²+1) 을 쓴다.
실수 포인트 ③OA→∞, PH→0 을 보고 곱의 극한을 0 이나 ∞ 로 정하는 실수. ∞×0 은 정해지지 않는 꼴이니 곱해서 2t²/(t²+1) 로 만든 뒤 t² 으로 나눈다 → 2
정답 2 (2t²/(t²+1) → 2/1=2)
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